Câu 6. (6,5 điểm).
a. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap, đáy lớn $AB$. Gọi $I$, $J$, $K$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA$, $AB$, $BC$. Tìm giao tuyến của $(SAK)$ với $(SBD)$, giao điểm của $IK$ với $(SBD)$, giao điểm của $SD$ với $(IJK)$.
b. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap, đáy lớn $AD$ và $AD=2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Chứng minh $OG\parallel (SBC)$.
c. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, mặt bên $(SAB)$ là tam giác vuông tại $A$, $SA=a\sqrt{3}$, $SB=2a$. Điểm $M$ nằm trên đoạn $AD$ sao cho $AM=2MD$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(SAB)$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$.

a. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $AK$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}M\in BD\\ M\in AK\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}M\in (SBD)\\ M\in (SAK)\end{array}\Rightarrow \{M\}=(SBD)\cap (SAK)$.

Mặt khác: $\{S\}=(SBD)\cap (SAK)$.

$SM=(SBD)\cap (SAK)$ hay $SM$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng $(SBD)$ và $(SAK)$. (0,5 điểm)



Trong mặt phẳng $(SAK)$, gọi $N$ là giao điểm của $SM$ và $IK$.

$\{\begin{array}{l}N\in SM\subset (SBD)\\ N\in IK\end{array}\Rightarrow \{N\}=IK\cap (SBD)$.

Vậy $N$ là giao điểm của $IK$ và $(SBD)$. (0,75 điểm)



Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $P$ là giao điểm của $BD$ và $JK$.
$$\{\begin{array}{l}P\in BD\subset (SBD)\\ P\in IK\subset (IJK)\end{array};\{\begin{array}{l}N\in SM\subset (SBD)\\ N\in IK\subset (IJK)\end{array}$$
Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $Q$ là giao điểm của $PN$ và $SD$.
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}Q\in SD\\ Q\in PN\subset (IJK)\end{array}\Rightarrow SD\cap (IJK)=\{Q\}.$$
Vậy $Q$ là giao điểm của $SD$ và $(IJK)$. (0,75 điểm)

b. Tứ giác $ABCD$ là hình thap, đáy lớn $AD\Rightarrow AD//BC$. Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $DC$.



Khi đó $\Delta EBC\sim \Delta EAD\Rightarrow \frac{EB}{EA}=\frac{EC}{ED}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow EB=\frac{EA}{2};EC=\frac{ED}{2}\Rightarrow B,C$ lần lượt là trung điểm của $AE;DE$

$\Rightarrow BD;AC$ là đường trung tuyến trong tam giác $ADE$.

Mà $\{O\}=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trọng tâm của tam giác $ADE\Rightarrow \frac{DO}{DB}=\frac{2}{3}.$

Gọi $I$ là trung điểm của $SC$. Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $SDC\Rightarrow \frac{DG}{DI}=\frac{2}{3}.$

Xét $\Delta DGO$ và $\Delta DIB$ có $\frac{DG}{DI}=\frac{DO}{DB}=\frac{2}{3}$ và góc $D$ chung.

$\Delta DGO\sim \Delta DIB\Rightarrow OG//IB$. (0,5 điểm)

Ta có: $\{\begin{array}{l}OG//IB\\ OG\not\subset (SBC)\\ IB\subset (SBC)\end{array}\Rightarrow OG//(SBC)$ (đpcm). (0,5 điểm)

c. Ta có: $\{\begin{array}{l}(P)//(SAB)\\ M\in AD,M\in (P)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(P)\cap (ABCD)=MN\\ (P)\cap (SCD)=PQ\end{array}$ và $MN//PQ//AB$

Lại có $\{\begin{array}{l}(P)//(SAB)\\ M\in AD,M\in (P)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(P)\cap (SAD)=MQ\\ (P)\cap (SBC)=NP\end{array}$ và $\{\begin{array}{l}MQ//SA\\ NP//SB\end{array}$

Từ đó suy ra $(P)$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình thap $MNPQ$. (1,0 điểm)



Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ nên $SA\perp AB\Rightarrow MN\perp MQ$

Suy ra hình thap $MNPQ$ vuông tại $M$ và $Q$.

Do $MQ//SA\Rightarrow \frac{MQ}{SA}=\frac{DM}{DA}=\frac{DQ}{DS}\Rightarrow MQ=\frac{1}{3}SA$ và $\frac{DQ}{DS}=\frac{1}{3}$.

Do $PQ//CD\Rightarrow \frac{PQ}{CD}=\frac{SQ}{SD}\Rightarrow PQ=\frac{2}{3}AB$, với $AB=\sqrt{S{B}^2-S{A}^2}=a$ (1,0 điểm)

Ta có: $S_{MNPQ}=\frac{1}{2}MQ.(PQ+MN)\iff S_{MNPQ}=\frac{1}{2}\cdot \frac{SA}{3}\cdot \left(\frac{2AB}{3}+AB\right)\iff S_{MNPQ}=\frac{5a^2\sqrt{3}}{18}$ (1,0 điểm)

Vậy diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{5a^2\sqrt{3}}{18}$.