Câu 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(m;n)$ thỏa mãn $m^2-2$ chia hết cho $m.n+2$.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $(mn+2)\mid (m^2-2)$. Với $m=1$: $m^2-2=-1$, mà $mn+2\ge 3$ nên không chia hết. Với $m=2$: $m^2-2=2<mn+2$, vô nghiệm. Với $m=3$: $3n+2\mid 7$ mà $3n+2\ge 5$ nên $3n+2=7$, không cho $n$ nguyên. Với $m\ge 4$: đặt $m^2-2=q(mn+2)$ với $q\in {\mathbb{Z}}^{+}$. Khi đó $m^2-qmn=2q+2$, tức $m(m-qn)=2(q+1)$. Đặt $s=m-qn\ge 1$ (do $m(m-qn)=2(q+1)>0$), thay $m=qn+s$: $(qn+s)s=2q+2\Rightarrow q(ns-2)=2-s^2$. Vì $q\ge 1$: nếu $s\ge 2$ thì $2-s^2\le 0$, đòi hỏi $ns-2\le 0$; với $n\ge 1,s\ge 2$ chỉ có $n=1,s=2$ cho $ns-2=0$ nhưng khi đó $0=-2$, vô lý; các trường hợp $ns>2$ cho hai vế trái dấu. Vậy $s=1$: $q(n-2)=1\Rightarrow n=3,q=1$, suy ra $m=qn+s=4$. Kiểm tra: $m^2-2=14$, $mn+2=14$, chia hết đúng. Vậy cặp duy nhất là $(m;n)=(4;3)$.