Câu 2 (2,0 điểm): Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=5$ và $u_{n+1}=u_n^{2025}-3u_n^{2024}+u_n$, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
a) Chứng minh $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.
b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $v_n=\frac{1}{\left(u_1^{2024}+1\right)\left(u_2^{2024}+1\right)\dots \left(u_n^{2024}+1\right)}$. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $u_{n+1}=u_n^{2025}-3u_n^{2024}+u_n=u_n\left[u_n^{2023}(u_n-3)+1\right]$.
Quy nạp chứng minh $u_n\ge 5$ với mọi $n$: đúng với $n=1$ vì $u_1=5$. Nếu $u_n\ge 5$ thì $u_n-3\ge 2$, nên $u_n^{2023}(u_n-3)+1\ge 2\cdot 5^{2023}+1>5\ge u_n$, do đó $u_{n+1}>u_n\cdot u_n=u_n^2\ge 25\ge 5$.
Vậy dãy tăng rất nhanh: $u_{n+1}>u_n^2$, suy ra bằng quy nạp $u_n\ge 5^{2^{n-1}}\to +\infty$ khi $n\to +\infty$. Tức là $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.
(Kiểm tra: $u_2=5^{2025}-3\cdot 5^{2024}+5=2\cdot 5^{2024}+5>25=u_1^2$, thỏa mãn.)
b) Từ a), với mỗi $k$ ta có $u_k\ge 5^{2^{k-1}}$, do đó $u_k^{2024}+1>u_k^{2024}\ge 5^{2024\cdot 2^{k-1}}$.
Suy ra với mọi $n$:
$$0<v_n=\prod _{k=1}^n\frac{1}{u_k^{2024}+1}\le \prod _{k=1}^n{5}^{-2024\cdot 2^{k-1}}=5^{-2024(1+2+\cdots +2^{n-1})}=5^{-2024(2^n-1)}.$$
Vì $2^n-1\to +\infty$ nên $5^{-2024(2^n-1)}\to 0$. Theo nguyên lý kẹp, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$.