Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$ và $$d_2:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=0\\ z=-t\end{array}$$ . Mặt phẳng $(P)$ qua $d_1$ tạo với $d_2$ một góc $45^{\circ }$ và nhận véc tơ $\vec{n}(1;b;c)$ làm một véc tơ pháp tuyến. Xác định tích $bc$ .

Trong không gian $Oxyz$, một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ đứng vuông góc với mặt đất với hai điểm $A(2;1;0)$, $B(0;2;0)$ với chiều cao 3 m. Biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ tương ứng với 1 m. Một trạm phát sóng với máy phát đặt tại điểm $S$ có tọa độ $(3;3;6)$. Trạm phát sóng phát sóng ra xung quanh tuy nhiên khi gặp bức tường thì bị chặn. Vì vậy sẽ có một vùng sau bức tường nơi mà không bắt được sóng. Một người đi bộ từ vị trí có tọa độ là $(-4;-4;0)$ theo hướng thẳng đến gốc tọa độ với vận tốc 1 m/s. Tính thời gian kể từ lúc bắt đầu di chuyển đến khi người đó bị mất sóng (đơn vị giây, kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;5)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+2z-6=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;2;1)$, $B(-2;1;3)$, $C(2;-1;1)$ và $D(0;3;1)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(2;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha )$ qua hai điểm $A(1;2;0)$, $B(4;1;2)$ và cách đều hai điểm $C(-2;1;-1)$, $D(0;-3;1)$ có dạng $ax+by+cz+1=0(a<0)$. Tính $P=a+b+c$.

Trong không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $H(1;2;3)$ là trực tâm của $\Delta ABC$ với $A,B,C$ là ba điểm lần lượt nằm trên các trục $Ox,Oy,Oz$ (khác gốc tọa độ). Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ có dạng $mx+ny+pz-14=0$, $(m,n,p\in \mathbb{Z})$. Khi đó $m+n+p$ bằng bao nhiêu?