Câu 3. Trên mặt đất bằng phẳng có ba chiếc cọc thẳng đứng, với ba chân cọc $A,B,C$ tạo thành một tam giác vuông cân tại $A$ và $AB=60\text{ cm}$. Ba đỉnh cọc $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ có độ cao lần lượt là $50\text{ cm}$, $50\text{ cm}$ và $120\text{ cm}$. Phía trên đầu cọc, người ta đặt một quả cầu trang trí sao cho mặt cầu tiếp xúc với cả ba đỉnh $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $A$ là gốc tọa độ, $AB$ là trục $Ox$, $AC$ là trục $Oy$ và $A{A}^{\prime }$ là trục cao (xem hình vẽ) (đơn vị trên mỗi trục là $\text{cm}$).

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|=|3-4i|$. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ xác định bởi $w=(2+3i)z+3+4i$ là một đường tròn bán kính $R$. Tính $R$.

Xét hình trụ $(T)$ nội tiếp một mặt cầu bán kính $R$ và $S$ là diện tích thiết diện qua trục của $(T)$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ $(T)$ biết $S$ đạt giá trị lớn nhất.

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có ba kích thước là $3,4,5$ là

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$. Một mặt cầu $(J)$ ($J$ và $S$ cùng phía với $(ABCD)$) tiếp xúc với $(ABCD)$ tại $A$, đồng thời tiếp xúc ngoài với mặt cầu nội tiếp hình chóp. Một mặt phẳng $(P)$ đi qua $J$ và $BC$. Gọi $\phi$ là góc giữa $(P)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \phi$ biết các đường chéo của thiết diện của hình chóp cắt bởi $(P)$ lần lượt cắt và vuông góc với $SA,SD$.

Câu 3. Trong một dự án khảo sát địa chất thăm dò tài nguyên, các nhà khoa học phát hiện một túi khí tự nhiên trong lòng đất được xác định có dạng hình cầu $(S)$, một lớp đá móng ngăn cách các địa tầng $(P)$. Với hệ trục $Oxyz$ phù hợp, đơn vị trên mỗi trục là chục mét. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z+7{)}^2=16$. Lớp đá móng là mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z-15=0$. Để thực hiện việc khai thác, các nhà khoa học đặt mũi khoan được định hướng bắt đầu từ vị trí $A(1;2;1)$ và tiến tới liên tục theo phương của vectơ $\vec{u}=(1;1;-8)$. Ngoài ra, một trạm quan trắc địa chấn được đặt cố định tại vị trí $K(2;3;5)$ để theo dõi các biến động cơ học trong quá trình khoan.

Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là