Câu 3. Một công ty công nghệ phân tích hiệu quả của chiến dịch tiếp thị ứng dụng mới. Tổng thời gian người dùng tương tác tích lũy trên hệ thống theo thời gian $t$ ($t\ge 0$, tính bằng tuần) được mô hình hóa bởi hàm số $x(t)=2t-2\ln (t+1)$ (đơn vị: triệu giờ). Hàm số $v(t)=x^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ tương tác của người dùng tại thời điểm $t$ (đơn vị: triệu giờ/tuần).

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t)=t^3-3t^2+8t+2$, trong đó $0\le t\le 15$, $t$ tính bằng giây và $s(t)$ tính bằng mét.

Câu 1. Một chất điểm chuyển động biết quãng đường biểu diễn theo phương trình $S(t)=t^3-6t^2+30t$ (trong đó quãng đường $S$ tính bằng mét ($\text{m}$), thời gian $t$ tính bằng giây ($\text{s}$)). Tính vận tốc nhỏ nhất của chất điểm (đơn vị $\text{m/s}$).

Câu 6. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s=-t^3+6t^2+17t$, với $t\text{ (s)}$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s\text{ (m)}$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian $8$ giây đầu tiên, vận tốc $v\text{ (m/s)}$ của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu $\text{m/s}$?

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y=t^3-12t+3,t\ge 0$. Tính vận tốc của hạt tại thời điểm $t=8$ giây theo đơn vị $\text{m/s}$.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $10\text{ m}$, điểm $Q$ chuyển động thẳng đều từ vị trí $B$ đến vị trí $C$ với tốc độ $1\text{ m/s}$ (thời điểm $t=0$ giây được tính khi $Q$ xuất phát từ $B$). Với mỗi vị trí của $Q$, luôn tồn tại hình vuông $DMNP$ với $M$ thuộc đoạn $AD$, $N$ thuộc $AQ$ và $P$ thuộc đoạn $CD$. Hỏi tại thời điểm $t=5$ giây thì diện tích hình vuông $DMNP$ giảm với tốc độ bao nhiêu ${\text{m}}^2/\text{s}$? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

[IMAGE:img_q20_square]

Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy $S=100{\text{ m}}^2$ đang chứa $1000{\text{ m}}^3$ hóa chất lỏng. Do sự cố, hóa chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hóa chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $h(t)$ còn lại trong bồn: $v_r(t)=10\sqrt{h(t)}$ (${\text{m}}^3/$giờ). Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: $v_b(t)=\frac{200}{t+1}$ (${\text{m}}^3/$giờ). Gọi $V(t)$ là thể tích hóa chất còn lại trong bồn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết $V(0)=1000{\text{ m}}^3$.