Câu 3 (0,5 điểm). Cho hình vuông $H_1$ có cạnh bằng $a$ ($a>0$). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành sáu phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_2$. Từ hình vuông $H_2$ lại làm như trên được hình vuông $H_3$; cứ tiếp tục như vậy ta nhận được dãy các hình vuông $H_1,H_2,H_3,...,H_n,...$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $H_i$ $(i\in \{1;2;3;...\})$. Đặt $T=S_1+S_2+S_3+...+S_n+...$. Biết $T=90$, tính $a$.

Bạn Nhi muốn trang trí một góc cầu thang bằng cách tô màu các hình vuông như hình vẽ bên dưới. Biết góc cầu thang có dạng một tam giác vuông cân có cạnh 8m và bạn trang trí như sau:
- Lấy trung điểm cạnh huyền dựng 2 đoạn thẳng song song song hai cạnh tạo hình vuông (1) và tô màu nó.
- Phần trắng trên cùng và dưới cùng là 2 tam giác vuông cân và bạn lại tiếp tục thực hiện như ban đầu dựng hai hình vuông (2) và tô màu nó.
- Phần trắng trên cùng và dưới cùng là 2 tam giác vuông cân và bạn lại tiếp tục thực hiện như ban đầu dựng hai hình vuông (3) và tô màu nó.
Bạn Nhi tiếp tục quá trình như thế đến khi các hình vuông không thể tô được nữa thì tổng diện tích đã được tô màu là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Tính tổng $T=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{3^{n-1}}+...$

(1,0 điểm) Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính là $R=6$ cm. Người ta vẽ đường tròn nội tiếp tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ rồi dựng tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$. Tiếp theo người ta vẽ đường tròn nội tiếp tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ rồi dựng tam giác đều $A_3{B}_3{C}_3$. Cứ tiếp tục quá trình như vậy. Gọi $S_1,S_2,S_3,...,S_n,...$ lần lượt là diện tích các tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,...,A_n{B}_n{C}_n,...$. Tính $S=S_1+S_2+...+S_n+...$.

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Từ một tờ giấy bạn Minh cắt một hình tròn có đường kính $d=8cm$ (hình 1). Tiếp theo Minh cắt hai hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{2}$ rồi xếp chồng lên hình tròn đầu tiên để được như hình 2. Tiếp theo Minh lại cắt bốn hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{4}$ rồi xếp chồng lên các hình tròn trước đó để được như hình 3. Giả sử quá trình này diễn ra vô hạn lần. Tính tổng diện tích của các hình tròn được cắt ra (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị $c{m}^2$).

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Câu 4. (0,5 điểm) Từ một tờ giấy bạn Minh cắt một hình tròn có đường kính $d=14cm$ (hình 1). Tiếp theo Minh cắt hai hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{2}$ rồi xếp chồng lên hình tròn đầu tiên để được như hình 2. Tiếp theo Minh lại cắt bốn hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{4}$ rồi xếp chồng lên các hình tròn trước đó để được như hình 3. Giả sử quá trình này diễn ra vô hạn lần. Tính tổng diện tích của các hình tròn được cắt ra (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị $c{m}^2$).

Hình 1 — Hình 2 — Hình 3