(1,0 điểm) Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính là $R=6$ cm. Người ta vẽ đường tròn nội tiếp tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ rồi dựng tam giác đều $A_2{B}_2{C}_2$. Tiếp theo người ta vẽ đường tròn nội tiếp tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ rồi dựng tam giác đều $A_3{B}_3{C}_3$. Cứ tiếp tục quá trình như vậy. Gọi $S_1,S_2,S_3,...,S_n,...$ lần lượt là diện tích các tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,A_3{B}_3{C}_3,...,A_n{B}_n{C}_n,...$. Tính $S=S_1+S_2+...+S_n+...$.

Bạn An thả quả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng $\frac{3}{4}$ độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

Từ một tờ giấy bạn Minh cắt một hình tròn có đường kính $d=8cm$ (hình 1). Tiếp theo Minh cắt hai hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{2}$ rồi xếp chồng lên hình tròn đầu tiên để được như hình 2. Tiếp theo Minh lại cắt bốn hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{4}$ rồi xếp chồng lên các hình tròn trước đó để được như hình 3. Giả sử quá trình này diễn ra vô hạn lần. Tính tổng diện tích của các hình tròn được cắt ra (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị $c{m}^2$).

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Câu 4. (0,5 điểm) Từ một tờ giấy bạn Minh cắt một hình tròn có đường kính $d=14cm$ (hình 1). Tiếp theo Minh cắt hai hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{2}$ rồi xếp chồng lên hình tròn đầu tiên để được như hình 2. Tiếp theo Minh lại cắt bốn hình tròn, mỗi hình tròn có đường kính bằng $\frac{d}{4}$ rồi xếp chồng lên các hình tròn trước đó để được như hình 3. Giả sử quá trình này diễn ra vô hạn lần. Tính tổng diện tích của các hình tròn được cắt ra (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị $c{m}^2$).

Hình 1 — Hình 2 — Hình 3

Tại một nhà máy sản xuất thép, hệ thống làm mát của nhà máy có thể tái sử dụng 80\% lượng nước sau mỗi lần làm mát. Ban đầu, nhà máy sử dụng $300m^3$ nước. Giả sử quá trình tái sử dụng lặp đi lặp lại mãi mãi, tổng lượng nước mà nhà máy có thể sử dụng là bao nhiêu?

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ). Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1,C_2,C_3,\dots ,C_n$. Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$ $\left(i\in \{1,2,3,\dots ,n\}\right)$.
a) Tính cạnh của hình vuông $C_2$.
b) Tính ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2025}{a^2}\left(S_1+S_2+\dots +S_n\right)$.

Cho tam giác đều $A_1{B}_1{C}_1$ có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ tạo thành tam giác $A_2{B}_2{C}_2$, trung điểm của các cạnh tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ tạo thành tam giác $A_3{B}_3{C}_3$ … Gọi $P_1,P_2,P_3,...$ lần lượt là chu vi của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$, $A_3{B}_3{C}_3,...$. Tính tổng chu vi $P=P_1+P_2+P_3+...$