Bài 1. Cho hàm số $y=f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2-5x+1$

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại tâm đối xứng của nó.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 1.** Cho $y=f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2-5x+1$.

**a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$**

- Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
- $y^{\prime }=-x^2+6x-5=-(x-1)(x-5)$; $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=5$.
- $y^{\prime \prime }=-2x+6=0\iff x=3$, đổi dấu qua $x=3$ nên hàm số có điểm uốn tại $x=3$.
- Chiều biến thiên: trên $(-\infty ;1)$ và $(5;+\infty )$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến; trên $(1;5)$ có $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến.
- Cực tiểu: $x=1$, $y_{CT}=f(1)=-\frac{1}{3}+3-5+1=-\frac{4}{3}$, điểm $\left(1;-\frac{4}{3}\right)$.
- Cực đại: $x=5$, $y_{CĐ}=f(5)=-\frac{125}{3}+75-25+1=\frac{28}{3}$, điểm $\left(5;\frac{28}{3}\right)$.
- Giới hạn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.
- Điểm uốn: $I(3;4)$ (vì $f(3)=-9+27-15+1=4$).
- Giao trục $Oy$: điểm $(0;1)$. Đồ thị $(C)$ là đường cong bậc ba đi qua các điểm $(0;1)$, $\left(1;-\frac{4}{3}\right)$, $I(3;4)$, $\left(5;\frac{28}{3}\right)$, có nhánh trái đi lên vô cực và nhánh phải đi xuống âm vô cực (vẽ bằng cách nối mượt các điểm này, lõm trên với $x<3$, lõm dưới với $x>3$).

**b) Phương trình tiếp tuyến tại tâm đối xứng**

Đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn $I(3;4)$.

Hệ số góc: $k=y^{\prime }(3)=-9+18-5=4$.

Phương trình tiếp tuyến tại $I(3;4)$:
$$y=4(x-3)+4\iff y=4x-8.$$