a) Nhân vật trong một trò chơi trên máy tính có sử dụng khẩu súng laser bắn ra một tia đạn từ vị trí $M(1;1)$ theo hướng của véc-tơ $\vec{v}(40;30)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ đã chọn. Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ chứa tia laser.

b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:x-\sqrt{3}y-2=0$ và hai điểm phân biệt $A,B$, không thuộc $d$. Biết $A\left(1;\sqrt{3}\right)$, đường thẳng $AB$ không song song với $d$ và khoảng cách từ $B$ đến giao điểm $E$ của $AB$ với $d$ bằng hai lần khoảng cách từ điểm $B$ đến $d$. Hãy viết phương trình đường thẳng $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}(40;30)$ (có thể rút gọn thành $(4;3)$). Phương trình tham số: $x=1+40t,y=1+30t$ với $t\in \mathbb{R}$ (hoặc $x=1+4t,y=1+3t$).

b) Gọi $\theta$ là góc giữa $AB$ và $d$. Với $B\in AB$, gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $B$ xuống $d$, tam giác $BEH$ vuông tại $H$ nên $d(B,d)=BE\cdot \sin \theta$. Điều kiện $BE=2d(B,d)$ (với $B\ne E$) suy ra $\sin \theta =\frac{1}{2}$, tức góc giữa $AB$ và $d$ bằng $30^{\circ }$.

Đường thẳng $d:x-\sqrt{3}y-2=0$ có hệ số góc $k_d=\frac{1}{\sqrt{3}}$, tương ứng góc $30^{\circ }$ với trục $Ox$. Vậy $AB$ qua $A(1;\sqrt{3})$ và tạo với $d$ góc $30^{\circ }$, nên góc của $AB$ với trục $Ox$ là $0^{\circ }$ hoặc $60^{\circ }$.

- Trường hợp 1: $AB\parallel Ox$ qua $A$: $y=\sqrt{3}$. Kiểm tra: $AB$ cắt $d$ tại $E(5;\sqrt{3})$, với mọi $B\ne E$ trên đường này, $d(B,d)=\frac{|x_B-5|}{2}=\frac{BE}{2}$, thỏa $BE=2d(B,d)$. (Lưu ý $A(1;\sqrt{3})$ không thuộc $d$ vì $1-3-2=-4\ne 0$.)

- Trường hợp 2: $AB$ có hệ số góc $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$: $y-\sqrt{3}=\sqrt{3}(x-1)\iff y=\sqrt{3}x$. Kiểm tra: giao điểm $E=(-1;-\sqrt{3})$, góc giữa hai đường bằng $|60^{\circ }-30^{\circ }|=30^{\circ }$, thỏa điều kiện.

Vậy có hai đường thẳng: $AB:y=\sqrt{3}$ và $AB:y=\sqrt{3}x$ (tức $\sqrt{3}x-y=0$).