(1,5 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ có $AD=2a$ và $AB=BC=a,SA=a,SA\perp (ABCD)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$.

a) Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$

b) Chứng minh rằng $(SAC)\perp (SBI)$

c) Tính góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;a;0)$ (vì $AD\parallel BC$, $AD\perp AB$ tại $A$, $BC\perp AB$ tại $B$), $S(0;0;a)$, $I(0;a;0)$ (trung điểm $AD$).

a) Vì hình thang vuông tại $A$ và $B$ nên $BC\parallel AD\Rightarrow BC\perp AB$. Ta có $BC\perp AB$, $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $AB\cap SA=A$, $AB,SA\subset (SAB)$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$.

b) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{BI}=(-a;a;0)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=-a^2+a^2=0\Rightarrow AC\perp BI$. Ta cũng có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BI$. Vì $AC\cap SA=A$, $AC,SA\subset (SAC)$ nên $BI\perp (SAC)$. Mà $BI\subset (SBI)$ nên $(SBI)\perp (SAC)$.

c) Vì $BC\parallel AD$ nên $BC\parallel (SAD)$; mặt phẳng $(SBC)$ cắt $(SAD)$ theo đường thẳng $d$ qua $S$ và $d\parallel BC\parallel AD$. Ta có $AD\perp AB$ và $AD\perp SA$ nên $AD\perp (SAB)$, suy ra $d\perp (SAB)$. Giao tuyến của $(SBC)$ với $(SAB)$ là $SB$, giao tuyến của $(SAD)$ với $(SAB)$ là $SA$. Do đó góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa $SB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB=a$ nên góc giữa $SB$ và $SA$ bằng $45^{\circ }$.
Vậy góc giữa $(SBC)$ và $(SAD)$ bằng $45^{\circ }$.

Kiểm tra bằng tọa độ: pháp tuyến $(SAD)$ là $\overrightarrow{n_1}=(1;0;0)$; pháp tuyến $(SBC)$: $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$, $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{BC}\sim (1;0;1)$. $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta =45^{\circ }$. Khớp kết quả.