(0,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho 3 điểm $A(1;3),B(2;4),C(-3;5)$. Xác định tọa độ điểm $N$ trên trục tung sao cho $Q=2\left|\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}\right|+3\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}\right|$ nhỏ nhất.

+) Gọi $N\left(0;y\right)\in Oy$. Ta có $\overrightarrow{NA}=\left(1;3-y\right)$; $\overrightarrow{NB}=\left(2;4-y\right)$; $\overrightarrow{NC}=\left(-3;5-y\right)$.
$\Rightarrow \overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\left(5;11-3y\right)$; $\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}=\left(-2;8-2y\right)$.
Biểu thức $Q=2\left|\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}\right|+3\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC}\right|=2\sqrt{(5{)}^2+(11-3y{)}^2}+3\sqrt{(-2{)}^2+(8-2y{)}^2}$
$=6\left[\sqrt{{\left(\frac{5}{3}-0\right)}^2+{\left(\frac{11}{3}-y\right)}^2}+\sqrt{(-1-0{)}^2+(4-y{)}^2}\right]$ (0,25 đ)
$=6\left(KN+HN\right)\ge 6HK$ với $H\left(\frac{5}{3};\frac{11}{3}\right),K\left(-1;4\right)$.
+) Nhận xét: $H,K$ nằm về hai phía so với trục $Oy$ nên dấu "=" xảy ra $\iff N,H,K$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{KH};\overrightarrow{KN}$ cùng phương. Ta có: $\overrightarrow{KH}=\left(\frac{8}{3};-\frac{1}{3}\right);\overrightarrow{KN}=\left(1;y-4\right)$
$\overrightarrow{KH};\overrightarrow{KN}$ cùng phương $\Rightarrow \frac{1}{\frac{8}{3}}=\frac{y-4}{-\frac{1}{3}}\Rightarrow y=\frac{31}{8}\Rightarrow N\left(0;\frac{31}{8}\right)$ (0,25 đ)