Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $a^3\sqrt{3}$. Chiều cao $h$ của khối chóp đã cho bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{3y}{2}=\frac{3-z}{1}$?

Cho mẫu số liệu điểm môn Toán của một nhóm học sinh như sau:



Mốt của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3,\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{c}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Nếu ${\int }_0^4(f(x)+x)dx=3$ thì ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (2x)<\log (x+6)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-2+2t\\ z=-3+2t\end{array}$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=25$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Một chiếc hộp có $80$ viên bi, trong đó có $50$ viên bi màu đỏ và $30$ viên bi màu vàng; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có $60\%$ số viên bi màu đỏ đánh số và $50\%$ số viên bi màu vàng có đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Gọi $A$ là biến cố "Viên bi được lấy ra có đánh số", $B$ là biến cố "Viên bi được lấy ra có màu đỏ".

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với đáy, $SA=2a,AB=a$.

Có $8$ người cùng vào thang máy ở tầng $1$ của một tòa nhà cao $10$ tầng và đi lên trên. Tính xác suất để có đúng $2$ người cùng ra ở một tầng và mỗi người còn lại ra ở mỗi tầng khác nhau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Khi sử dụng rượu bia, dạ dày và ruột non sẽ hấp thu ethanol vào máu đi khắp cơ thể, trong đó có phổi. Đây chính là cơ sở để cảnh sát giao thông thực hiện đo nồng độ cồn trong hơi thở bằng máy đo nồng độ cồn khi nghi ngờ tài xế uống rượu bia khi lái xe. Theo con số thống kê của một tỉnh A năm 2024, có khoảng $40\%$ các vụ tai nạn giao thông nghiêm trọng là có liên quan đến người lái có nồng độ cồn cao. Giả sử tỉ lệ số người say khi lái xe là $4\%$. Hỏi việc có nồng độ cao khi lái xe làm tăng khả năng gây ra tai nạn nghiêm trọng lên bao nhiêu lần?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB=20\text{ cm}$, $AC=40\text{ cm}$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=10\text{ cm}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $BC$ bằng bao nhiêu $\text{cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một chi tiết máy có các hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng như hình vẽ sau (Các kích thước cho như trong hình vẽ):

Gọi $V$ là thể tích kim loại cần để đúc chi tiết máy đó. Tính $\frac{V}{2025}$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một nhà thiết kế mỹ thuật yêu thích môn Toán muốn trang trí một viên gạch với họa tiết như hình 1. Các đường cong thực chất là các đường parabol và đồ thị hàm bậc ba. Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình 2. Gọi hàm số bậc ba $y=f(x)$ và hàm số bậc hai $y=g(x)$ có đồ thị như trên hình.

Biết rằng đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt đồ thị hàm số $y=g(x)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thoả mãn $x_1{x}_2{x}_3=-5$. Diện tích miền tô đậm bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(222;565;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu. Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là $M(a;b;c)$. Khi đó $a+b-c$ bằng bao nhiêu?