Cho $a>0$, $a\ne 1$ và $b>0$. Biểu diễn ${\log }_a\left(a^2{b}^3\right)$ theo ${\log }_{a}b$.

Đạo hàm của hàm số $y=(2x-1){\mathrm{e}}^x$ là

Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện $[A,BC,D]$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, $SA\perp (ABCD)$. Khẳng định nào sau đây sai?

Tìm tập xác định $\mathcal{D}$ của hàm số $y={\log }_2\left(x^2-4x+3\right)$.

Rút gọn biểu thức $P=x^{\frac{1}{3}}\cdot \sqrt[9]{x}$ với $x>0$.

Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là

Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3x+1$ ($m$ là tham số thực).

Cho các hàm số $y={\log }_{a}x$, $y={\log }_{b}x$, $y={\log }_{c}x$ (với $a$, $b$, $c$ là các số thực dương và khác 1) có đồ thị lần lượt là $(C_1)$, $(C_2)$, $(C_3)$ như hình bên.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a\sqrt{3}$.

Trong giờ thể dục tại trường THPT Nguyễn Du, hai bạn An và Bình cùng thực hiện trò chơi ném bóng vào rổ. Gọi $A$ là biến cố “An ném bóng trúng rổ” và $B$ là biến cố “Bình ném bóng trúng rổ”. Biết rằng xác suất ném trúng rổ của An là $P(A)=0,7$, của Bình là $P(B)=0,6$ và xác suất để cả hai bạn cùng ném trúng rổ là $0,42$.

Trong giải bóng rổ giao hữu của trường THPT Nguyễn Du, bạn Khoa được giao thực hiện 2 quả ném phát liên tiếp. Biết xác suất ném trúng rổ của quả thứ nhất là $0,7$ và quả thứ hai là $0,9$. Giả sử việc ném trúng rổ của các quả ném phát là độc lập với nhau. Gọi $P$ là xác suất để bạn Khoa ném trúng rổ đúng 1 quả. Tính giá trị của $100\cdot P$.

Công thức $h=-19,3\cdot \log \frac{P}{P_0}$ là mô hình đơn giản cho phép tính độ cao $h$ so với mặt nước biển của một vị trí trong không trung (tính bằng ki-lô-mét) theo áp suất không khí $P$ tại điểm đó và áp suất $P_0$ của không khí tại mặt nước biển (cùng tính bằng $Pa$ - đơn vị áp suất, đọc là Pascal), (Nguồn: http://doi.org/10.1007/s40828-020-0111-6). Nếu áp suất không khí ngoài máy bay bằng $\frac{7}{10}{P}_0$ thì máy bay đang ở độ cao bao nhiêu ki-lô-mét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một xưởng chế tác làm các khối pha lê lưu niệm có dạng hình chóp $S.ABCD$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Biết $AB=9$ cm, $AD=12$ cm và góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng đáy bằng $30^{\circ }$. Tính thể tích của khối pha lê đó (đơn vị cm${}^3$, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong một buổi thực hành khoa học, học sinh quan sát một rô-bốt tự hành di chuyển trên một đoạn đường thẳng. Quãng đường đi được $s$ (tính bằng centimet) của rô-bốt sau thời gian $t$ (tính bằng giây) được xác định bởi phương trình $s(t)=\frac{2}{3}{t}^3-t^2+8t$. Tính vận tốc tức thời của rô-bốt tại thời điểm $t=4$ s (đơn vị tính cm/s).

Một xưởng cơ khí gia công một chi tiết máy bằng thép có dạng hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ (tham khảo hình vẽ bên). Biết $AB=5$ cm, $BC=6$ cm và chiều cao của lăng trụ là $A{A}^{\prime }=7$ cm. Trong quá trình lắp ráp, người thợ cần tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng cắt $(A^{\prime }BC)$. Tính khoảng cách đó (đơn vị cm, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong một buổi sinh hoạt ngoại khoá với chủ đề “Xác suất và Đời sống” do Tổ Toán trường THPT Nguyễn Du tổ chức, các bạn học sinh thiết kế một trò chơi có thưởng như sau:



Một chiếc hộp kín chứa 11 quả cầu có kích thước và khối lượng giống hệt nhau, chỉ khác nhau về màu sắc, gồm 7 quả cầu màu trắng và 4 quả cầu màu xanh. Hai học sinh $A$ và $B$ tham gia trò chơi, luân phiên rút ngẫu nhiên từng quả cầu từ hộp (rút không hoàn lại). Người nào rút được quả cầu màu trắng đầu tiên thì người đó giành chiến thắng và trò chơi kết thúc. Giả sử học sinh $A$ là người thực hiện lượt rút đầu tiên. Xác suất để học sinh $A$ giành chiến thắng được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ (với $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Hãy tính giá trị của biểu thức $S=2a-4b$.