Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác cơ bản (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin 3x$.

Điều kiện: $x\in \mathbb{R}$.

Dùng công thức: $\sin A=\sin B\iff A=B+2k\pi$ hoặc $A=\pi -B+2k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=3x+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{3}-2k\pi =\frac{\pi }{3}+2k^{\prime }\pi$ (với $k^{\prime }\in \mathbb{Z}$).

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -3x+2k\pi \iff 5x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \iff x=\frac{2\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{3}$: $\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \pi =0=\sin \pi$ ✓. Với $x=\frac{2\pi }{15}$: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{15}+\frac{5\pi }{15}=\frac{3\pi }{5}$, còn $3x=\frac{2\pi }{5}$, và $\sin \frac{3\pi }{5}=\sin \left(\pi -\frac{3\pi }{5}\right)=\sin \frac{2\pi }{5}$ ✓.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{2\pi }{15}+\frac{2k\pi }{5}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{3}=\tan 60^0$, không phải $\tan 30^0$ (vì $\tan 30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}$). Do đó a) sai. Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có nghiệm $x=60^0+k180^0$, nên b) sai (đề ghi $30^0+k180^0$). Nghiệm âm: với $k=-1$, $x=60^0-180^0=-120^0$; các nghiệm âm khác nhỏ hơn ($-300^0,\dots$), nên nghiệm âm lớn nhất là $-120^0$: c) đúng. Trong đoạn $[0^0;360^0]$ có hai nghiệm $x=60^0$ và $x=240^0$: d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 30^0=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne \sqrt{3}=\tan 60^0$, nên (*) không tương đương $\tan x=\tan 30^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm đúng là $x=60^0+k180^0(k\in \mathbb{Z})$, không phải $30^0+k180^0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=-1$: $x=60^0-180^0=-120^0$ là nghiệm âm lớn nhất (các nghiệm âm khác đều nhỏ hơn).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $[0^0;360^0]$ có hai nghiệm: $x=60^0$ và $x=240^0$.

Ta có: $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \{\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\\ x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\end{array}$.

Vậy $S=\left\{-\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z};-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ là tập nghiệm của phương trình.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=k2\pi \iff x=k\pi$.
Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{6}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2\sin \left(2t+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$, tức $\sin \left(2t+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, với $0\le t\le 0,2$ nên $\frac{\pi }{4}\le 2t+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{4}+0,4\approx 1,185$ (rad). Trong khoảng này, nghiệm của $\sin u=\frac{\sqrt{3}}{2}$ là $u=\frac{\pi }{3}$. Suy ra $2t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=\frac{\pi }{24}\approx 0,1309\approx 0,13$ (giây). Nghiệm kia $u=\frac{2\pi }{3}$ cho $t=\frac{5\pi }{24}\approx 0,65>0,2$ (loại). Vậy thời điểm cần tìm là $t\approx 0,13$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, có họ nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
a) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, tổng bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$ → Sai.
b) $x=\frac{9\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2\pi$ là nghiệm → Đúng.
c) Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, không phải $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi$ → Sai.
d) $2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ phương trình chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$, nên tổng các nghiệm bằng $\frac{\pi }{4}\ne \frac{3\pi }{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin \frac{9\pi }{4}=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, thỏa mãn phương trình.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, khác với khẳng định đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$2\sin x-\sqrt{2}=0\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ đạt giá trị lớn nhất, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \Rightarrow t=12k-2,k\in \mathbb{Z}$. Với $k=1$ ta được thời gian dương nhỏ nhất $t=10$ (h). Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ nên $\cot 9x=\frac{\sqrt{3}}{3}⟺9x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chia hai vế cho 9 ta được $x=\frac{\pi }{27}+k\frac{\pi }{9},k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{27}$ thì $9x=\frac{\pi }{3}$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, thỏa mãn. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=\sin 3x\iff [<table><tbody><tr><td>2x=3x+k2\pi </td></tr><tr><td>2x=\pi -3x+k2\pi </td></tr></tbody></table>$ (k∈ℤ). Trường hợp 1: $x=-k2\pi$, tức $x=k2\pi$ (k∈ℤ). Trường hợp 2: $5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$ (k∈ℤ). Vậy họ nghiệm là $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$ (k∈ℤ), khớp với phương án A. Kiểm tra: với $x=0$: $\sin 0=\sin 0=0$ ✓; với $x=\pi /5$: $\sin (2\pi /5)=\sin (3\pi /5)$ ✓.