Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình đa thức đưa về bậc thấp (Toán học Lớp 10, 11, 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình (1): $x^2+2xy-3x+2y=0\iff 2y(x+1)=x(3-x)$, với $x\ne -1$ (thử $x=-1$ vào (1): $1-2y-3+2y=-2\ne 0$, loại) nên $y=\frac{x(3-x)}{2(x+1)}$.

Thay vào (2): $x^4-5x^2+6x^{2}y+4y^2=0$. Nhân hai vế với $4(x+1{)}^2$:
$$4(x+1{)}^2(x^4-5x^2)+12x^3(3-x)(x+1)+4x^2(3-x{)}^2=0.$$

Với $x=0$: (1) và (2) đều thỏa, được nghiệm $(0;0)$.

Với $x\ne 0$, chia cho $4x^2$:
$$(x+1{)}^2(x^2-5)+3x(3-x)(x+1)+(3-x{)}^2=0.$$
Khai triển: $(x^4+2x^3-4x^2-10x-5)+(-3x^3+6x^2+9x)+(x^2-6x+9)=x^4-x^3+3x^2-7x+4=0$.

Phân tích: $x=1$ là nghiệm, chia đa thức hai lần:
$$x^4-x^3+3x^2-7x+4=(x-1{)}^2(x^2+x+4).$$
Vì $x^2+x+4>0$ với mọi $x$ thực ($\Delta =1-16<0$), nên $x=1$, khi đó $y=\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\frac{1}{2}$. Thử lại: (1): $1+1-3+1=0$ ✓; (2): $1+3-5+1=0$ ✓.

Vậy tập nghiệm của hệ là $\{(0;0);(1;\frac{1}{2})\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $5x+1\ge 0\iff x\ge -\frac{1}{5}$ và $y^2+x+3\ge 0$.

**Bước 1. Biến đổi phương trình thứ nhất.**
Đặt $t=y^2\ge 0$, phương trình $t^2-16t+15=2x(3t-4x-17)$ viết lại thành
$$t^2-(6x+16)t+(8x^2+34x+15)=0.$$
Biệt thức: $\Delta =(6x+16{)}^2-4(8x^2+34x+15)=4(x+7{)}^2$.
Suy ra $t=\frac{6x+16\pm 2(x+7)}{2}$, tức $t=4x+15$ hoặc $t=2x+1$ (kiểm tra: tổng $6x+16$, tích $8x^2+34x+15$ — đúng).

**Bước 2. Trường hợp $y^2=4x+15$.**
Khi đó $y^2+2x-15=6x$ và $y^2+x+3=5x+18$, phương trình thứ hai thành
$$6x\left(\sqrt{5x+1}-\sqrt{5x+18}\right)=14.$$
Vì $\sqrt{5x+1}<\sqrt{5x+18}$ nên cần $x<0$. Khử mẫu:
$$6x\cdot \frac{-17}{\sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+18}}=14\Rightarrow \sqrt{5x+1}+\sqrt{5x+18}=\frac{-51x}{7}.$$
Đặt $u=\sqrt{5x+1}\in [0;1)$ (do $x<0$), khi đó $-\frac{51x}{7}=\frac{51(1-u^2)}{35}\le \frac{51}{35}<\sqrt{17}\le u+\sqrt{u^2+17}$.
Vậy vế trái luôn lớn hơn vế phải: trường hợp này vô nghiệm.

**Bước 3. Trường hợp $y^2=2x+1$.**
Khi đó $y^2+2x-15=4x-14$, $y^2+x+3=3x+4$, và
$$\sqrt{5x+1}-\sqrt{3x+4}=\frac{2x-3}{\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x+4}}.$$
Phương trình thứ hai trở thành
$$(4x-14)(2x-3)=14\left(\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x+4}\right)⟺(2x-7)(2x-3)=7\left(\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x+4}\right).$$
Vế phải dương nên cần $(2x-7)(2x-3)>0$, tức $x<\frac{3}{2}$ hoặc $x>\frac{7}{2}$ (kết hợp $x\ge -\frac{1}{5}$).

• **Với $x\in \left[-\frac{1}{5};\frac{3}{2}\right)$:** đặt $f(x)=(7-2x)(3-2x)-7\left(\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x+4}\right)$. Hai nhân tử $7-2x,3-2x$ dương và nghịch biến nên $(7-2x)(3-2x)$ nghịch biến, còn $7(\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x+4})$ đồng biến. Do đó $f$ nghịch biến, phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Thử $x=0$: $7\cdot 3=21=7(1+2)$ — thỏa mãn. Vậy $x=0$, $y^2=1$, cho $(0;1)$ và $(0;-1)$.

• **Với $x>\frac{7}{2}$:** đặt $g(x)=(2x-7)(2x-3)-7\left(\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x+4}\right)$. Ta có
$$g^{\prime }(x)=8x-20-7\left(\frac{5}{2\sqrt{5x+1}}+\frac{3}{2\sqrt{3x+4}}\right).$$
Với $x>\frac{7}{2}$: $8x-20>8$ còn $7\left(\frac{5}{2\sqrt{18,5}}+\frac{3}{2\sqrt{14,5}}\right)\approx 6,83<8$. Vậy $g^{\prime }(x)>0$, $g$ đồng biến trên $\left(\frac{7}{2};+\infty \right)$, phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Thử $x=7$: $7\cdot 11=77=7(6+5)$ — thỏa mãn. Vậy $x=7$, $y^2=15$, cho $(7;\sqrt{15})$ và $(7;-\sqrt{15})$.

**Bước 4. Thử lại.**
Với $x=0,y^2=1$: PT1: $1-16+15=0=2\cdot 0(\dots )$; PT2: $(1+0-15)(1-2)=(-14)(-1)=14$. ✓
Với $x=7,y^2=15$: PT1: $225-240+15=0=14(45-28-17)$; PT2: $(15+14-15)(6-5)=14\cdot 1=14$. ✓

**Kết luận.** Hệ có nghiệm
$$(x;y)\in \left\{(0;1),(0;-1),(7;\sqrt{15}),(7;-\sqrt{15})\right\}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $$\{\begin{array}{l}{x}^3-y^3-8x-2y=0(1)\\ x^2-3y^2-6=0(2)\end{array}$$

TH1: $y=0$. Từ (2) suy ra $x^2=6$. Thay vào (1): $x^3-8x=x(x^2-8)=0$, mà $x^2=6\ne 8$, vô lý. Vậy $y\ne 0$.

TH2: $y\ne 0$. Đặt $x=ky$ với $k\ne 0$.

Từ (2): $(k^2-3)y^2=6$, nên cần $k^2>3$ và $y^2=\frac{6}{k^2-3}$.

Từ (1): $y^3(k^3-1)-2y(4k+1)=0\Rightarrow y^2(k^3-1)=2(4k+1)$ (do $y\ne 0$).

Thay $y^2$: $$\frac{6(k^3-1)}{k^2-3}=2(4k+1)\Rightarrow 3(k^3-1)=(4k+1)(k^2-3)$$
$$\Rightarrow 3k^3-3=4k^3+k^2-12k-3\Rightarrow k^3+k^2-12k=0\Rightarrow k(k+4)(k-3)=0$$

- $k=0$: loại vì cần $k^2>3$.
- $k=3$: $y^2=\frac{6}{9-3}=1\Rightarrow y=\pm 1$, $x=3y$. Ta được $(x;y)=(3;1)$ và $(-3;-1)$. Kiểm tra: $27-1-24-2=0$ và $-27+1+24+2=0$ đều thỏa.
- $k=-4$: $y^2=\frac{6}{16-3}=\frac{6}{13}\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{6}{13}}$, $x=-4y$. Ta được $(x;y)=\left(-4\sqrt{\frac{6}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}\right)$ và $(x;y)=\left(4\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{6}{13}}\right)$. Kiểm tra: $x^2-3y^2=16y^2-3y^2=13y^2=6$ ✓; $x^3-y^3-8x-2y=-65y^3+30y=y(30-65y^2)=y\left(30-65\cdot \frac{6}{13}\right)=y(30-30)=0$ ✓.

Kết luận: Hệ có bốn nghiệm:
$$(x;y)\in \left\{(3;1),(-3;-1),\left(4\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{6}{13}}\right),\left(-4\sqrt{\frac{6}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}\right)\right\}.$$