Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị lượng giác và quan hệ cơ bản (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cot \alpha$: $E=\frac{1-3{\tan }^2\alpha }{2-{\tan }^2\alpha }$. Với $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ thì ${\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, nên ${\tan }^2\alpha =\frac{5/9}{4/9}=\frac{5}{4}$. Do đó $E=\frac{1-\frac{15}{4}}{2-\frac{5}{4}}=\frac{-\frac{11}{4}}{\frac{3}{4}}=-\frac{11}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 24: D).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $\sin \left(\frac{5\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$; $\cos (13\pi +\alpha )=\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$; $\sin (\alpha -5\pi )=\sin (\alpha -\pi )=-\sin \alpha$ nên $-3\sin (\alpha -5\pi )=3\sin \alpha$. Vậy $D=\cos \alpha -\cos \alpha +3\sin \alpha =3\sin \alpha$.

a) Đúng: $D=3\sin \alpha$.

b) Với $\tan \alpha =2$, $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ (góc phần ba), $\sin \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}$. Khi đó $D=3\cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{6\sqrt{5}}{5}$, âm chứ không dương $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ → Sai.

c) Nếu $D=3\cos x$ (tức $3\sin \alpha =3\cos \alpha$) thì $\sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$. Giá trị âm lớn nhất là $\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}$ → Đúng.

d) $D=1\Rightarrow \sin x=\frac{1}{3}$, suy ra ${\cos }^{2}x=\frac{8}{9}$, ${\tan }^{2}x=\frac{1}{8}$. Đặt $t=\tan x$: $M=\frac{t-3/t^3}{5t^3-2/t^3}=\frac{t^4-3}{5t^6-2}$. Với $t^2=\frac{1}{8}$: $t^4=\frac{1}{64}$, $t^6=\frac{1}{512}$, nên $M=\frac{\frac{1}{64}-3}{\frac{5}{512}-2}=\frac{-191/64}{-1023/512}=\frac{1528}{1023}\approx 1,494\ne \frac{7}{32}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
D = cosα − cosα + 3sinα = 3sinα.
b) (AI giải đề cho tôi)
α ở góc phần ba nên sinα = −2/√5, D = −6√5/5 (âm), không phải +6√5/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
3sinα = 3cosα ⇒ α = π/4 + kπ; giá trị âm lớn nhất là −3π/4.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin x = 1/3 ⇒ tan²x = 1/8; M = (t⁴−3)/(5t⁶−2) = 1528/1023 ≈ 1,494 ≠ 7/32.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$ và $\tan \alpha <0$.

a) Sai: Theo hệ thức cơ bản ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ nên $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ (dấu trừ vì $\sin \alpha <0$), không phải $+\frac{\sqrt{7}}{4}$.

b) Đúng: $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi +20\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$.

c) Đúng: Với $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{\sqrt{7}}{3}$, ta có
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{7}}{3}+\sqrt{3}}{1+\frac{\sqrt{21}}{3}}=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}.$$
Kiểm tra số: $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})\approx \frac{1.7321-0.8819}{1+0.8819\cdot 1.7321}\approx 0.3364$, cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\approx 2.6458=\sqrt{7}$. Vậy $M=\sqrt{7}$.

d) Sai: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\cdot \frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp bảng chấm mã đề 102 Phần II Câu 2 (a: S, b: Đ, c: Đ, d: S).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$: $\sin \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}\ne \frac{\sqrt{7}}{4}$. Ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\cos (\alpha +21\pi )=\cos (\alpha +\pi )=-\cos \alpha =-\frac{3}{4}$. Ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{3+\sqrt{21}}\approx 0.3364$; cộng $\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2.3094$ được $\sqrt{7}\approx 2.6458$. Ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{3\sqrt{7}}{8}\ne -\frac{3\sqrt{7}}{16}$. Ý d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 121: Rút gọn 6 biểu thức.

1) $A=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}{\tan }^2\frac{x}{2}-{\cos }^{2}x$. Dùng hệ thức ${\tan }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$, suy ra $A=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$.

2) $B=\frac{\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin (3x-5x)}{\cos x}=\frac{-\sin 2x}{\cos x}=-2\sin x$.

3) $C=\frac{2}{\sin 4x}-\cot 2x$. Ta có $\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}$ (nhân tử mẫu với $2\cos 2x$), nên $C=\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{2\sin 2x\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

4) $D=\frac{{\sin }^{2}2x-4{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}2x+4{\sin }^{2}x-4}$. Thay ${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$:
Tử $=4{\sin }^{2}x({\cos }^{2}x-1)=-4{\sin }^{4}x$.
Mẫu $=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x-4=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-1)=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x)=-4{\cos }^{4}x$.
Vậy $D=\frac{-4{\sin }^{4}x}{-4{\cos }^{4}x}={\tan }^{4}x$.

5) $E=\frac{\cot \frac{a}{2}+\tan \frac{a}{2}}{\cot \frac{a}{2}-\tan \frac{a}{2}}$. Nhân tử và mẫu với $\tan \frac{a}{2}$: $E=\frac{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}$. Theo công thức $\cos a=\frac{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}$ nên $E=\frac{1}{\cos a}$.

6) $H=\frac{2{\cos }^{2}a-1}{2\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Tử $=\cos 2a$. Vì $\frac{\pi }{4}-a=\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+a\right)$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Do đó mẫu $=2\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2a\right)=\cos 2a$. Vậy $H=1$.