Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(-1;-3)$, $B(2;-1)$, $C(3;4)$. Tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=a^0$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ). Tìm $a$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho các điểm $A(-1;0)$, $B(1;2)$ và $C(3;3)$. Gọi $D(x;y)$ là điểm có tung độ dương thuộc đường thẳng $AB$ sao cho $CD=5$. Giá trị của $x^2+y^2$ bằng bao nhiêu?

Có hai con tàu $A,B$ xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm $t$ (giờ), vị trí của tàu $A$ có tọa độ được xác định bởi công thức $\{\begin{array}{l}x=3-33t\\ y=-4+25t\end{array}$; vị trí tàu $B$ có tọa độ là $(4-30t;3-40t)$. Nếu tàu $A$ đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu $B$ chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu ki-lô-mét?

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Gọi $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là điểm đối xứng với $C$ qua $D$ . Khi đó:

Một vùng biển được mô hình hóa trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km). Ba trạm kiểm soát được đặt tại các vị trí $A(-2;1)$, $B(1;3)$, $C(1;-1)$.

Vào lúc 6 giờ sáng, một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $N70^{\circ }E$ với vận tốc $50km/h$. Lúc 8 giờ sáng, một tàu du lịch cũng xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $N30^{\circ }W$ với vận tốc $70km/h$. Sau 3 giờ kể từ khi tàu đánh cá xuất phát thì tàu đánh cá chuyển hướng đi về hướng bắc với vận tốc $40km/h$. Hỏi đến 11 giờ tàu du lịch cách tàu đánh cá bao nhiêu kilomet? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hình vẽ bên dưới mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí $I$ có tọa độ $(-2;1)$ trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét). Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ $(-3;4)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng $3km$.