Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có tọa độ các đỉnh $A(1;2),B(-3;4)$ và $C(5;-3)$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(2;3),B(-2,5)$ và $C(4;3)$.

a) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm $A,B$ tùy ý lần lượt thuộc các tia $Ox,Oy$ ($A,B\ne O$). Gọi $M,N$ là các điểm thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho chúng chia đoạn thẳng $AB$ thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. Chứng minh rằng $\tan MON\le \frac{3}{4}$.
b) Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn $ABC$ và một điểm $M$ di động trên cạnh $BC$. Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua trung điểm của $BC$. Đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $D$, đường thẳng qua $N$ và vuông góc với $BC$ cắt đường thẳng $AC$ tại $E$. Giả sử $ME$ cắt $ND$ tại $P$ và $AP$ cắt $BC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $Q$ là một điểm cố định (khi $M$ di động trên $BC$).

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC, gọi N là điểm nằm trên cạnh CD sao cho AC ⊥ BN. Tính tỉ số $\frac{DN}{CN}$.

Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $BK\perp AC,K\in AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AK$ và $CD$. Tìm số đo góc $\widehat{BMN}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ biết $A(-3;0),B(3;0),C(2;6)$.

Trong trò chơi bi-a 1 băng, người chơi phải dùng cơ để đánh bi cái sao cho bi cái chạm ít nhất một cạnh bàn trước khi chạm vào bi mục tiêu. Khi bi cái lăn tới chạm vào cạnh bàn, nó sẽ bị bật ra theo quy tắc góc tới bằng góc phản xạ (xem hình vẽ).


Một người đang chơi bi-a 1 băng trên mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 100 inch và chiều rộng 50 inch. Bi cái đang ở tâm $O$ của mặt bàn và bi mục tiêu đang ở điểm $M$ trên mặt bàn. Người đó ước lượng được cần đánh bi cái chạm vào cạnh dài của bàn tại điểm $C$ với góc tới $30^{\circ }$ và góc $\widehat{MOC}=45^{\circ }$ thì bi cái sẽ chạm vào bi mục tiêu. Tính quãng đường bi cái đã di chuyển từ $O$ đến $M$ (coi bán kính của các viên bi là không đáng kể).