Cho hình chữ nhật $ABCD$. Kẻ $BK\perp AC,K\in AC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AK$ và $CD$. Tìm số đo góc $\widehat{BMN}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;b)$, $D(0;b)$ với $a=AB$, $b=BC$. Đường thẳng $AC$ có vectơ chỉ phương $(a;b)$. Chân đường vuông góc từ $B$ xuống $AC$ là $K=t(a;b)$ với $t=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot (a;b)}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}$, tức $K=\left(\frac{a^3}{s};\frac{a^{2}b}{s}\right)$ với $s=a^2+b^2$.

Trung điểm $M$ của $AK$: $M=\left(\frac{a^3}{2s};\frac{a^{2}b}{2s}\right)$. Trung điểm $N$ của $CD$: $N=\left(\frac{a}{2};b\right)$.

Tính hai vectơ:
$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{2}-\frac{a^3}{2s};b-\frac{a^{2}b}{2s}\right)=\left(\frac{a{b}^2}{2s};\frac{b(a^2+2b^2)}{2s}\right),$$
$$\overrightarrow{MB}=\left(a-\frac{a^3}{2s};-\frac{a^{2}b}{2s}\right)=\left(\frac{a(a^2+2b^2)}{2s};-\frac{a^{2}b}{2s}\right).$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4s^2}\left[a^2{b}^2(a^2+2b^2)-a^2{b}^2(a^2+2b^2)\right]=0.$$

Vậy $MB\perp MN$, suy ra góc $\widehat{BMN}=90^{\circ }$. (Nhận xét thêm: $\overrightarrow{MN}\parallel$ không cần thiết; kết quả đúng với mọi kích thước hình chữ nhật.)