Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm 3 điểm $A(1;1),B(0;2),C(4;3)$.

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $BC$.

2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $AC$.

3) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho độ dài đoạn $BM$ nhỏ nhất.

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $BC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{BC}=(4;1)\Rightarrow \vec{n}=(1;-4)$. (0,25 điểm)
PT: $1(x-1)-4(y-1)=0\iff x-4y+3=0$. (0,25 điểm)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $AC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{AC}=(3;2)\Rightarrow \vec{n}=(2;-3)$. (0,25 điểm)
PT: $2(x-0)-3(y-2)=0\iff 2x-3y+6=0$. (0,25 điểm)
3) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho độ dài đoạn $BM$ nhỏ nhất. (0,5 điểm)
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng AC. Theo tính toán, $H\left(\frac{10}{13};\frac{11}{13}\right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left(-\frac{3}{13};-\frac{2}{13}\right)$ và $\overrightarrow{AC}=(3;2)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=-\frac{1}{13}\overrightarrow{AC}$. Vì $k=-\frac{1}{13}<0$ nên $A$ nằm giữa $H$ và $C$. (0,25 điểm)
Với mọi $M$ thuộc đoạn AC, ta có $BM=\sqrt{B{H}^2+H{M}^2}$. BM nhỏ nhất khi HM nhỏ nhất. Vì $M$ chạy từ $A$ đến $C$ và $H$ nằm ngoài đoạn về phía $A$, nên HM nhỏ nhất khi $M\equiv A$. Kết luận: Điểm cần tìm là $M(1;1)$. (0,25 điểm)