Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm 3 điểm $A(0;1),B(1;-2),C(2;2)$.

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $BC$.

2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $AC$.

3) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho độ dài đoạn $BM$ nhỏ nhất.

1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với $BC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{BC}=(1;4)\Rightarrow \vec{n}=(4;-1)$. (0,25 điểm)
PT: $4(x-0)-1(y-1)=0\iff 4x-y+1=0$. (0,25 điểm)
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $AC$. (0,5 điểm)
$\overrightarrow{AC}=(2;1)\Rightarrow \vec{n}=(1;-2)$ (0,25 điểm)
PT: $1(x-1)-2(y+2)=0\iff x-2y-5=0$. (0,25 điểm)
3) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho độ dài đoạn $BM$ nhỏ nhất. (0,5 điểm)
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên đường thẳng AC. Ta tìm được $H\left(-\frac{2}{5};\frac{4}{5}\right)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=\left(-\frac{2}{5};-\frac{1}{5}\right)$ và $\overrightarrow{AC}=(2;1)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. Tương tự đề 1, vì $H$ nằm ngoài đoạn AC (0,25 điểm)
BM đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ trùng với đầu mút $A$. Kết luận: Điểm cần tìm là M(0;1) . (0,25 điểm)