Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :ax+by+c=0(a;b;c\in \mathbb{N};a\le 4)$ vuông góc với đường thẳng $d:3x-y+4=0$ và $\Delta$ cách $A(1;2)$ một khoảng $\sqrt{10}$. Xác định $T=a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:3x-y+4=0$ có hệ số góc $k_d=3$. Vì $\Delta \perp d$ nên $\Delta$ có hệ số góc $-\frac{1}{3}$, do đó $\Delta$ có dạng $x+3y+c=0$ (chọn $a=1,b=3$, thỏa $a\le 4$). Khoảng cách từ $A(1;2)$ đến $\Delta$: $d(A,\Delta )=\frac{|1+3\cdot 2+c|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|7+c|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\Rightarrow |7+c|=10\Rightarrow c=3$ hoặc $c=-17$. Vì $c\in \mathbb{N}$ nên $c=3$. Vậy $T=a+b+c=1+3+3=7$.