Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$ và đường thẳng $d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-2}{-2}$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với mặt phẳng $(P):x+y+z-7=0$ và cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $AB$ ngắn nhất. Phương trình đường thẳng $\Delta$ là

Gọi $A(1+2t;t;-2-t)\in d_1$ và $B(1+s;-2+3s;2-2s)\in d_2$. Khi đó $\overrightarrow{AB}=(s-2t;3s-t-2;-2s+t+4)$.
Vì $\Delta \parallel (P)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot {\vec{n}}_P=0\iff 2s-2t+2=0\iff s=t-1$.
Thay $s=t-1$ vào $\overrightarrow{AB}$, ta được $\overrightarrow{AB}=(-t-1;2t-5;-t+6)$.
Độ dài đoạn thẳng $AB$ ngắn nhất khi $A{B}^2=(-t-1{)}^2+(2t-5{)}^2+(-t+6{)}^2=6t^2-30t+62$ đạt giá trị nhỏ nhất, tức là tại $t=\frac{5}{2}$, suy ra $s=\frac{3}{2}$.
Tại $t=\frac{5}{2}$, ta có điểm $A\left(6;\frac{5}{2};-\frac{9}{2}\right)$ và véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}=(-7;0;7)\dots$ Biểu diễn tương đương qua các điểm đã cho, phương trình chính tắc của $\Delta$ là $\frac{x+12}{6}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-9}{-7}$. Chọn đáp án D.