Cho khối nón $(N)$ có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng $a$. Một thiết diện đi qua đỉnh $S$ của khối nón $(N)$ và cắt đáy theo dây cung $AB$ có độ dài bằng $2a\sqrt{2}$. Biết khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến mặt phẳng thiết diện $(SAB)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích của khối nón $(N)$ bằng

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, dựng $OH\perp SI$ thì $OH\perp (SAB)$.


Trong tam giác vuông $SOI$ vuông tại $O$, $OH$ là đường cao. Ta có khoảng cách $OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và góc $\widehat{OSI}=30^{\circ }\dots$ Tính được $SO=a\sqrt{3}$ và bán kính đáy $R=OA=a\sqrt{5}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{5}{)}^2(a\sqrt{3})=\frac{5\pi a^3\sqrt{3}}{3}$. Chọn đáp án C.