Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Gọi $D$ là trung điểm của cạnh $B{B}^{\prime }$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ bằng $\frac{a}{\sqrt{7}}$. Tính thể tích khối tứ diện $A^{\prime }{C}^{\prime }CD$.

Đặt chiều cao hình lăng trụ là $h=B{B}^{\prime }$. Dựng hình bình hành $B^{\prime }BCE$ thì $BE\parallel B^{\prime }C\Rightarrow B^{\prime }C\parallel (A^{\prime }BE)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ bằng khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BE)$. Qua tính toán thể tích tứ diện $C.A^{\prime }BE$, ta tìm được $h=B{B}^{\prime }=a$.
Khi đó thể tích khối tứ diện $A^{\prime }{C}^{\prime }CD$ là:
$V_{A^{\prime }{C}^{\prime }CD}=\frac{1}{3}\cdot d(A^{\prime },(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))\cdot S_{\Delta C^{\prime }CD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}\right)=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}.$
Chọn đáp án C.