Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, các đỉnh $B(m;0;0)$, $D(0;m;0)$, $A^{\prime }(0;0;n)$ với $m$, $n>0$ và $m+n=4$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $C{C}^{\prime }$.

Khoảng cách từ điểm $M(2;-5;0)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$ là

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100m$, chiều rộng $OD=60m$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$.



Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100m$, chiều rộng $OD=60m$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$.



Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Một công ty tổ chức sự kiện đang thiết kế một kiểu lều (shelter) đặc biệt có dạng hình chóp tứ giác, ký hiệu là S.ABCD.
- Mặt sàn: Tấm bạt lót sàn (ABCD) là một hình vuông hoàn hảo, có độ dài cạnh là $\sqrt{2}$.
- Thiết kế đặc biệt: Do yêu cầu địa hình, một mặt bên của lều (mặt SAD) được thiết kế là một tấm vải hình tam giác cân tại S và được dựng thẳng đứng (vuông góc với mặt sàn).
- Không gian: Không gian bên trong lều (thể tích) được tính toán chính xác là $\frac{4}{3}$ để đảm bảo đủ không khí lưu thông.
Để gia cố cho lều trong điều kiện gió, đội kỹ thuật cần căng một sợi dây cáp từ một cọc neo ở góc sàn B đến một điểm trên mặt vải chéo đối diện (mặt SCD). Để tiết kiệm vật liệu và đảm bảo lực căng tối ưu, sợi cáp này phải là đoạn ngắn nhất có thể. Tính độ dài h của sợi dây cáp ngắn nhất đó.

Trong không gian tọa độ $(Oxyz)$, cho điểm $A(1;2;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z+2=0$. Mặt phẳng $(\beta )$ song song với mặt phẳng $(\alpha )$ và cách $A$ một khoảng bằng 1. Khi đó mặt phẳng $(\beta )$ dạng $x-by+cz+d=0$, trong đó $b,c,d$ là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $S=3b-c+d$ là bao nhiêu?

Khoảng cách từ điểm $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ bằng