Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;0)$, $B(3;4;1)$, $D(-1;3;2)$. Tìm tọa độ điểm $C$ sao cho $ABCD$ là hình thap có hai cạnh đáy $AB$, $CD$ và có góc $C$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang có hai cạnh đáy $AB$, $CD$ nên $\overrightarrow{CD}$ song song $\overrightarrow{AB}=(2;2;1)$, tức $\overrightarrow{DC}=k(2;2;1)$. Kiểm tra góc $\hat{C}=45^{\circ }$ (góc giữa $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CD}$):

- Với $C(3;7;4)$: $\overrightarrow{CB}=B-C=(0;-3;-3)$, $|\overrightarrow{CB}|=3\sqrt{2}$; $\overrightarrow{CD}=D-C=(-4;-4;-2)$, $|\overrightarrow{CD}|=6$. Tích vô hướng $=0+12+6=18$, nên $\cos \hat{C}=\frac{18}{3\sqrt{2}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \hat{C}=45^{\circ }$. Thỏa mãn.

- $C(5;9;5)$: $\cos \hat{C}=\frac{54}{27\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$, loại.
- $C(-3;1;1)$: $\cos \hat{C}=\frac{18}{9\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$, loại.
- $C(1;5;3)$: tích vô hướng $=0\Rightarrow \hat{C}=90^{\circ }$, loại.

Vậy $C(3;7;4)$, chọn A.