Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):4x+3y-z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{3}=\frac{z+4}{1}$. $\sin$ của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình chính tắc $\frac{x-1}{2}=\frac{y+4}{-3}=\frac{z}{6}$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình tổng quát $2x-y-2z+1=0$. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha )$ tính theo đơn vị độ và làm tròn đến hàng đơn vị, có giá trị là

Trong không gian Oxyz , góc giữa đường thẳng chứa trục Ox và mặt phẳng (
)
Oyz bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$.

Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+y-4z+2020=0$. Góc giữa đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, giả sử mặt đất trùng với mặt phẳng $(Oxy)$. Một bóng đèn trang trí dạng khối cầu có tâm $I(-1;2;4)$ và bán kính $R$ được treo cố định lên trần nhà (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $\text{m}$). Một con kiến bò tùy ý trên bóng đèn và một con kiến khác bò tùy ý trên mặt đất, giả sử vectơ tạo bởi tọa độ vị trí của $2$ con kiến luôn cùng phương với vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{2}$ (coi mỗi con kiến là một điểm). Biết lúc $2$ con kiến gần nhau nhất có khoảng cách bằng $\frac{57}{10}\text{ (m)}$ (tham khảo hình vẽ bên). Bán kính $R$ của khối cầu có độ dài bao nhiêu $\text{cm}$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;3;4)$. Xét các đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và tạo với $(Oyz)$ một góc $45^{\circ }$. Gọi $M$ là giao điểm của đường thẳng $\Delta$ với mặt phẳng $(Oyz)$. Khi $OM$ nhỏ nhất, $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{\Delta }=(1;a;b)$. Giá trị của $a^2+b^2$ bằng