Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu tâm $I(-1;3;0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-y+2z+11=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=16$. Mặt phẳng $(Oxy)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có chu vi bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và điểm $A(0;0;2)$. Một mặt phẳng đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;a;b)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là hình tròn có diện tích nhỏ nhất. Độ dài $|\vec{n}|$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z+5=0$. Giả sử $M\in (P)$ và $N\in (S)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\vec{u}=(1;0;1)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ là lớn nhất. Tính $MN$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-11=0$ và điểm $I(-3;3;1)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm là điểm $I$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Trong sảnh một trung tâm hội nghị, các kiến trúc sư lắp đặt một khối cầu trang trí phản quang có mặt ngoài được mô phỏng bởi phương trình $x^2+y^2+z^2=9$ (đơn vị: mét). Một đèn chiếu điểm (spotlight) di chuyển dọc theo trục ray thẳng có phương trình $d:x-1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-3}$. Khi đèn ở vị trí $M$, các tia sáng phát ra tiếp xúc với khối cầu. Tập hợp các tiếp điểm tạo thành một đường tròn nằm trên mặt phẳng $(P)$, là ranh giới giữa vùng sáng và vùng tối (tham khảo hình vẽ bên).

Khi đèn $M$ di chuyển đến vị trí sao cho mặt phẳng $(P)$ đi qua mắt cảm biến cố định tại $D(2;0;1)$, hãy tính khoảng cách từ đèn $M$ đến tâm khối cầu (làm tròn đến hàng phần chục của mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và mặt phẳng $(P):2x-2y+z+3=0$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với $(P)$ và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là