Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho $G(1;-1;-2)$ là trọng tâm của $\Delta$ABC có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;-1)$
a) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{3}-\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=-1$.
b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua $BC$. Khoảng cách lớn nhất từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
c) Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi đó đường thẳng $OH$ đi qua điểm $M\left(-4;6;-12\right)$.
d) Mặt cầu đi qua 4 điểm $O,A,B,C$ có bán kính bằng $\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $H(1;-1;-2)$. Mặt phẳng đi qua các hình chiếu của $H$ lên các trục tọa độ có phương trình là

(0,5 điểm) Trong không gian $Oxyz$, lập phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng $({\Delta }_1):\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1+t\\ z=2+t\end{array}$ và $({\Delta }_2):\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-3}{1}$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M\left(3;-1;4\right)$ đồng thời vuông góc với giá của vecto $\vec{a}=\left(1;-1;2\right)$ có phương trình là

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm $A,B,C,D$ như hình 1 và được tọa độ hóa thông qua cách đặt hệ trục Oxyz như hình 2:



Hình 1 (trái): hình thang vuông ABCD với AB = 25m, AD = 15m, BC = 18m. Hình 2 (phải): hệ trục Oxyz với các điểm A, B, C, D và B', C', D' hạ xuống dưới mặt Oxy.

Bước đầu chúng được thiết kế "thẳng bằng" để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB=25m$, $AD=15m$, $BC=18m$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta hạ độ cao ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với mặt Oxy một khoảng là 10 cm, $a$ cm, 6 cm tương ứng thành các điểm B', C' và D'. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y-2z+4=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=-2-2t\end{array}$