Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-6{)}^2=2$. Tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là:

Vào rạng sáng ngày 1/1/2025, hệ thống phòng thủ hành tinh phát hiện một thiên thạch lớn có tên là 2025-XH3 đang di chuyển hướng từ vị trí $A(-60;-45;-10)$ đến vị trí $B(-20;-15;0)$ trong một hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp (đơn vị: nghìn km). Các nhà khoa học từ Trái Đất cho rằng thiên thạch chuyển động thẳng đều và sẽ đến vị trí B vào rạng sáng ngày 19/1/2025. Giả sử bề mặt Trái Đất được mô hình hóa là một mặt cầu có phương trình $x^2+y^2+z^2=6,4^2$.

Hệ thống định vị toàn cầu (GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kì trong không gian. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A(-1;-3;-5)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B(-1;1;-1)$ và $C(1;-1;-1)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=3$. Người ta xác định được tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $MA+MB+MC$ bé nhất. Tính giá trị $a+b+c$ và làm tròn đến hàng phần chục.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-11=0$. Tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu là

Thể tích của một khối cầu có bán kính $R$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $I(1;1;1)$ và $A(1;2;3)$. Viết phương trình mặt cầu có tâm $I$ và đi qua $A$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.