Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+d=0$ là

Sân khấu của một chương trình biểu diễn nghệ thuật như hình vẽ dưới đây. Mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng nghiêng về phía khán giả. Biết $AB,AD,AH$ đôi một vuông góc nhau và $AB=8m$, $AD=10m$, $AH=1m$. Gọi C là điểm sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật. Khi đó mặt sân khấu là một phần của mặt phẳng đi qua 3 điểm $B,C,H$. Tại điểm $D$, người ta dựng một cột thẳng đứng $DE$ vuông góc với mặt đất, có chiều cao $10m$. Trong một buổi biểu diễn nghệ thuật, một nghệ sĩ ngồi trên ghế treo được gắn vào dây cáp thẳng nối từ điểm $B$ đến điểm $E$ và trượt dọc theo sợi dây này. Khi ghế di chuyển được $\frac{3}{4}$ quãng đường từ $B$ đến $E$ thì dừng lại tại điểm $M$. Hãy tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt sân khấu (kết quả tính làm tròn đến hàng phần mười của đơn vị mét).

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(x_0;y_0;z_0)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):ax+by+cz+d=0$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;2;3)$, $B(3;4;4)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $2x+y+mz-1=0$ bằng độ dài đoạn thẳng $AB$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):2x-2y+z+1=0$ và $(Q):2x-2y+z-5=0$ và các điểm $A(0;1;1)$, $B(2;0;1)$.

Biết góc quan sát ngang của một camera là $116^{\circ }$. Trong không gian $Oxyz$, camera được đặt tại điểm $A(2;1;5)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $(P):2x-y-2z+13=0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $(P)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần chục)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxy$, cho mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $3x+4y+2z+4=0$ và điểm $A(1;-2;3)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $(P)$.