Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(-2;0;-3),B(-4;-4;1),C(-4;1;-1)$.

a) Đúng.

b) Ta có $AB=\sqrt{4+16+16}=6$; $AC=\sqrt{4+1+4}=3$; $BC=\sqrt{0+25+4}=\sqrt{29}$. Cạnh $AB$ lớn nhất nên góc $C$ lớn nhất. Do $\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2AC\cdot BC}>0$ nên $C$ là góc nhọn, do đó tam giác $ABC$ nhọn. b) Sai.

c) $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(9+\sqrt{29})(9-\sqrt{29})(3+\sqrt{29})(\sqrt{29}-3)}=\sqrt{65}$. Mặt khác $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{2\sqrt{65}}{9+\sqrt{29}}\approx 1,12$. c) Đúng.

d) Dùng tính đối xứng qua $(Oyz)$: $AM+BN=A^{\prime }M+BN\ge \sqrt{(H{A}^{\prime }+BK{)}^2+(HM+KN{)}^2}$, với $HM+NK\ge HK-MN=4\sqrt{2}-3$. Suy ra $AM+BN\ge \sqrt{36+(4\sqrt{2}-3{)}^2}=\sqrt{77-24\sqrt{2}}\approx 6,56$. d) Đúng.
a) a) Đúng.
b) b) Ta có $AB=\sqrt{4+16+16}=6$; $AC=\sqrt{4+1+4}=3$; $BC=\sqrt{0+25+4}=\sqrt{29}$.
Cạnh $AB$ lớn nhất nên góc $C$ lớn nhất

Do $\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2AC\cdot BC}>0$ nên $C$ là góc nhọn, do đó tam giác $ABC$ nhọn, b) sai.
c) c) Ta có diện tích tam giác $ABC$
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(9+\sqrt{29})(9-\sqrt{29})(3+\sqrt{29})(\sqrt{29}-3)}=\sqrt{65}.$$

Mặt khác $S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{2\sqrt{65}}{9+\sqrt{29}}\approx 1,12$. c) đúng.
d) d) Ta có $H(0;0;-3)$, $K(0;-4;1)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A(-2;0;-3)$ và $B(-4;-4;1)$ xuống mặt phẳng $(Oyz)$.

Nhận xét: $A$, $B$ nằm về cùng một phía với mặt phẳng $(Oyz)$.



Gọi $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $(Oyz)$, suy ra $H$ là trung điểm đoạn $A{A}^{\prime }$ nên $AM=A^{\prime }M$.

Mà $A^{\prime }H=AH=2$; $BK=6$, $HK=4\sqrt{2}$.

Do đó $AM+BN=A^{\prime }M+BN=\sqrt{H{A}^{\prime 2}+H{M}^2}+\sqrt{B{K}^2+K{N}^2}$

$\ge \sqrt{(H{A}^{\prime }+BK{)}^2+(HM+KN{)}^2}=\sqrt{36+(HM+KN{)}^2}$

Lại có $HM+MN+NK\ge HK\Rightarrow HM+NK\ge HK-MN=4\sqrt{2}-3$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $H,M,N,K$ thẳng hàng và theo thứ tự đó.

Suy ra $AM+BN\ge \sqrt{36+(HM+KN{)}^2}\ge \sqrt{36+(4\sqrt{2}-3{)}^2}=\sqrt{77-24\sqrt{2}}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $AM+BN$ bằng $\sqrt{77-24\sqrt{2}}\approx 6,56$. d) đúng.