Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a;AD=2a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SD$, $H$ là trung điểm cạnh $AB$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Vì tam giác $SAB$ đều nên $H$ là trung điểm của $AB$ nên $SH\perp AB$. Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\cap (ABCD)=AB\\ (SAB)\perp (ABCD)\\ SH\perp AB\end{array}\Rightarrow SH\perp (ABCD)$. Chọn ĐÚNG.

b) Do $△SAB$ đều cạnh $a$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ta có $S_{ABCD}=2a^2\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$. Chọn SAI.

c) Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $HC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mp(ABCD) $\Rightarrow \widehat{(SC,(ABCD))}=\widehat{SCH}$. Chọn SAI.

d) $d(M,(SAC))=d(H,(SAC))=HK=\frac{a\sqrt{57}}{19}\ne \frac{2\sqrt{57}}{19}a$. Chọn SAI.


a) a) Vì tam giác $SAB$ đều nên $H$ là trung điểm của $AB$ nên $SH\perp AB$. Ta có $\{\begin{array}{l}(SAB)\cap (ABCD)=AB\\ (SAB)\perp (ABCD)\\ SH\perp AB\end{array}\Rightarrow SH\perp (ABCD)$. Chọn ĐÚNG.
b) b) Do $△SAB$ đều cạnh $a$ nên $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ta có $S_{ABCD}=2a^2\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$. Chọn SAI. (Lưu ý: trang lời giải ghi $V_{S.ABCD}$, đề gốc ghi $V_{S.ABC}$.)
c) c) Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $HC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mp(ABCD) $\Rightarrow \widehat{(SC,(ABCD))}=\widehat{SCH}$. Chọn SAI.
d) d) Ta có $SD\cap mp(SAC)=S$ nên $\frac{d(M,(SAC))}{d(D,(SAC))}=\frac{MS}{DS}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{M},(SAC))=\frac{1}{2}\mathrm{d}(\mathrm{D},(SAC))=\frac{1}{2}\mathrm{d}(\mathrm{B},(SAC))$. Mặt khác $\frac{\mathrm{d}(\mathrm{B},(SAC))}{\mathrm{d}(\mathrm{H},(SAC))}=\frac{BA}{HA}=2\Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{B},(SAC))=2\mathrm{d}(\mathrm{H},(SAC))\Rightarrow \mathrm{d}(\mathrm{M},(SAC))=\mathrm{d}(\mathrm{H},(SAC))$. Gọi $I$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$. Ta có $\{\begin{array}{l}AC\perp HI\\ AC\perp SH\end{array}\Rightarrow AC\perp (SHI)\Rightarrow AC\perp HK$. $\{\begin{array}{l}HK\perp SI\\ HK\perp AC\end{array}\Rightarrow HK\perp (SAC)\Rightarrow d(H,(SAC))=\mathrm{HK}$. $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{5}$. $\Delta AIH\sim \Delta ABC(g-g)\Rightarrow \frac{AI}{AB}=\frac{IH}{BC}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow IH=\frac{BC\cdot AH}{AC}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$. $\Delta SHI$ có $HK=\frac{SH\cdot HI}{\sqrt{S{H}^2+H{I}^2}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{5}}{5}\right)}^2}}=\frac{a\sqrt{57}}{19}$. Vậy $d(M,(SAC))=d(H,(SAC))=HK=\frac{a\sqrt{57}}{19}$. Chọn SAI.