Cho hai số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn đồng thời $x^2+y^2\ge 16$, ${\log }_{x^2+2y^2+1}\left(y^2+8x+1\right)\ge 1$. Biết rằng có duy nhất một cặp số nguyên không âm $(x,y)$ thỏa mãn $mx+y-1+m=0$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số $m$ thỏa mãn bài toán?

Ta có: $x^2+y^2\ge 16$ suy ra tập hợp các điểm có tọa độ $(x;y)$ nằm trên hay phía ngoài đường tròn $(C_1):x^2+y^2=16$.
Do $(x;y)=(0;0)$ không thỏa mãn điều kiện đề bài nên $x^2+2y^2+1>1$.
Khi đó ${\log }_{x^2+2y^2+1}\left(y^2+8x+1\right)\ge 1\iff x^2+2y^2+1\le y^2+8x+1\iff x^2+y^2-8x\le 0$ suy ra tập hợp các điểm có tọa độ $(x;y)$ nằm trong hoặc trên đường tròn $(C_2):x^2+y^2-8x=0$.
Vậy tập hợp bộ số $(x;y)$ thỏa mãn đề bài là các điểm có tọa độ nguyên không âm thỏa mãn:
$x=3\Rightarrow y=3$; $x=4\Rightarrow y\in \{0;1;2;3;4\}$; $x=5\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$
$x=6\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$; $x=7\Rightarrow y\in \{0;1;2\}$; $x=8\Rightarrow y=0$.
có tổng 18 điểm thỏa mãn.



Nhận xét: Để thỏa mãn yêu cầu bài ra thì đường thẳng $mx+y-1+m=0$ phải đi qua một trong các điểm trong 18 điểm trên.
Mặt khác đường thẳng $mx+y-1+m=0$ luôn đi qua điểm cố định $M(-1;1)$. Thay các điểm vào phương trình đường thẳng $mx+y-1+m=0$, ứng với mỗi điểm ta có một giá trị của tham số m, tuy nhiên với các điểm có tung độ $y=1$ đều cho một giá trị m. Ngoài ra không có hai điểm nào trong 14 điểm còn lại và điểm $M(-1;1)$ thẳng hàng. Vậy có 14 giá trị m.

(Lưu ý: đầu lời giải chi tiết in khung 'Trả lời: 15' (trang 25) nhưng kết luận lời giải 'Vậy có 14 giá trị m' và bảng đáp án chính thức Phần III (trang 7, Câu 3 = 14) đều là 14; đáp án 14 được giữ theo bảng đáp án chính thức.)