Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(1)+f(3)=2f(-1)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ

a) Từ đồ thị ta có $f^{\prime }(x)>0\iff \left[\begin{array}{c}-1<x<1\\ x>3\end{array}\right]$ ĐÚNG.

b) $y^{\prime }=-\frac{2}{(x-1{)}^2}{f}^{\prime }\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\Rightarrow y^{\prime }=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$. Lập BBT suy ra hàm số có hai điểm cực trị. SAI.

c) Vì $f(1)+f(3)=2f(-1)\Rightarrow f(1)-f(-1)=f(-1)-f(3)>0\Rightarrow f(-1)>f(3)$. Vậy GTLN, GTNN lần lượt là $f(1),f(3)$. SAI.

d) Thay $x=0$ vào $4f^{\prime }(2x+1)f(2x+1)-2xf(1-x)+x^2{f}^{\prime }(1-x)=0$ ta được $4f^{\prime }(3)f(3)-2.f(0)+f^{\prime }(0)=0\Rightarrow -2.f(0)+2=0\iff f(0)=1$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)\Rightarrow y=2x+1$ ĐÚNG.


a) a) Từ đồ thị ta có $f^{\prime }(x)>0\iff \left[\begin{array}{c}-1<x<1\\ x>3\end{array}\right]$ ĐÚNG.
b) b) Ta có $y^{\prime }=-\frac{2}{(x-1{)}^2}{f}^{\prime }\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\Rightarrow y^{\prime }=0\iff f^{\prime }\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}\frac{x+1}{x-1}=-1\\ \frac{x+1}{x-1}=1\\ \frac{x+1}{x-1}=3\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$ Lập BBT suy ra hàm số $y=f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ có hai điểm cực trị. SAI
c) c) Xét hàm số $y=f(x)$ từ đồ thị ta có bảng biến thiên



Vì $f(1)+f(3)=2f(-1)\Rightarrow f(1)-f(-1)=f(-1)-f(3)>0\Rightarrow f(-1)>f(3)$. Vậy GTLN, GTNN lần lượt là $f(1),f(3)$. SAI
d) d) Từ $f^2(2x+1)-x^{2}f(1-x)=3\Rightarrow 4f^{\prime }(2x+1)f(2x+1)-2xf(1-x)+x^2{f}^{\prime }(1-x)=0$. Thay $x=0$ ta được $4f^{\prime }(3)f(3)-2.f(0)+f^{\prime }(0)=0\Rightarrow -2.f(0)+2=0\iff f(0)=1$. Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số là $y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)\Rightarrow y=2x+1$ ĐÚNG