Trong không gian $Oxyz$, cho $(S_1):(x-1{)}^2+y^2+z^2=4$, $(S_2):(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-1{)}^2=1$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=-3t\\ z=-2-t\end{array}$. Gọi $A,B$ là hai điểm tùy ý thuộc $(S_1),(S_2)$ và $M$ thuộc đường thẳng $d$. Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=MA+MB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ tâm mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-4y-8z-1=0$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-12=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-3{)}^2+z^2=25$. Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $2a$, $\widehat{ADC}=60^{\circ }$, mặt bên $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ACD$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M(t;0;0),N(0;2t;2t)$ với $t>0$. Điểm $Q$ di động thỏa mãn $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{MQ}\cdot \overrightarrow{NQ}=3$. Biết rằng có giá trị $t=\frac{a}{b}$ (với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản) sao cho $OQ$ đạt giá trị lớn nhất là $2$. Khi đó $a-b$ thuộc khoảng nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$. Phương trình của $(S)$ là

Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ ứng với $1\text{ km}$. Radar có bán kính phủ sóng $250\text{ km}$, tức là các mục tiêu bay cách radar không quá $250\text{ km}$ sẽ bị theo dõi và xuất hiện trên màn hình radar. Một máy bay không người lái (UAV) xuất phát từ vị trí điểm $A(1000;-450;0)$, bay theo đường thẳng và đi qua vị trí điểm $B(968;-435;1)$ với tốc độ không đổi bằng $800\text{ km/h}$. UAV mang thiết bị gây nhiễu có tầm hoạt động hiệu quả $50\text{ km}$, tức là nếu UAV bay cách radar không quá $50\text{ km}$ thì sẽ gây nhiễu được radar (không bị theo dõi bởi radar), trong trường hợp không gây nhiễu được thì UAV vẫn bị theo dõi nếu nằm trong tầm phủ sóng của radar.