Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):x+by+cz+d=0$ vuông góc với mặt phẳng $(\beta ):x+2y+3z+4=0$ và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):x+3y+z-7=0$, $(Q):x-y+z+1=0$. Khi đó $d$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=5-4t\\ z=-6+7t\end{array}$ ($t\in \mathbb{R}$) và điểm $A(-1;2;3)$. Phương trình mặt phẳng qua $A$ vuông góc với đường thẳng $d$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;-1)$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1),B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$. Lập phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(1;2;0),B(2;3;1)$ và song song với trục $Oz$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam $3\text{ m}$, cách bạn nữ $5\text{ m}$ (Hình vẽ). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt đất. Phương trình của $(P)$ trong không gian $Oxyz$ được mô tả như trong hình vẽ có dạng $ax+3y+cz=0$. Tìm $a+c$

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $-10x+43y-7z-1=0$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau