Cho hai hàm số $f(x)=2x^3-9x^2$ và $g(x)=2x^3-3x^2-12x+m$ ($m$ là tham số). Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $h(x)=f(g(x))$ có đúng $6$ điểm cực trị?

Ta có $h^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))$.
$h^{\prime }(x)=0\iff \{\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)=0\\ f^{\prime }(g(x))=0\end{array}$

- $g^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$ (2 nghiệm đơn phân biệt).
- $f^{\prime }(u)=6u^2-18u=0\iff u=0$ hoặc $u=3$.
Do đó $f^{\prime }(g(x))=0\iff \{\begin{array}{l}g(x)=0\\ g(x)=3\end{array}\iff \{\begin{array}{ll}2x^3-3x^2-12x=-m& (1)\\ 2x^3-3x^2-12x=-m+3& (2)\end{array}$

Bảng biến thiên của hàm số $k(x)=2x^3-3x^2-12x$ có điểm cực đại $(-1;7)$ và cực tiểu $(2;-20)$.

Để $h(x)$ có đúng 6 điểm cực trị thì hệ hai phương trình (1) và (2) phải sinh ra đúng 4 nghiệm đơn phân biệt khác $-1$ và $2$.

Điều kiện xảy ra khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}-m+3>7\\ -20<-m\le 7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<-4\\ -7\le m<20\end{array}\iff -7\le m<-4\Rightarrow m\in \{-7;-6;-5\}$
hoặc
$\{\begin{array}{l}-m\le -20\\ -20<-m+3<7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 20\\ -4<m<23\end{array}\iff 20\le m<23\Rightarrow m\in \{20;21;22\}.$

Tổng cộng có $3+3=6$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.