Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z-1{)}^2=4$ và điểm $A(3;2;3)$. Xét các điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho đường thẳng $AM$ luôn tiếp xúc với $(S)$. Khi đó $M$ luôn thuộc mặt phẳng cố định có phương trình là

Trong không gian cho hệ tọa độ $Oxyz$, các vectơ $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$ và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng $1$ kilômét. Máy bay bắt đầu quá trình hạ cánh tại điểm $A(3;3;4)$ ở thời điểm ban đầu và chuyển động thẳng đều hướng về vị trí $B(3;0;0)$ trên đường băng. Tại gốc tọa độ $O$, sân bay thiết lập một trạm radar cảnh báo thiên tai có vùng phủ sóng được mô phỏng bởi một mặt cầu $(S)$ bán kính $R=5\text{ km}$. Trong quá trình hạ cánh, máy bay phải xuyên qua một lớp mây dày đặc được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(5;0;0),N(0;10;0)$ và $P(0;0;10)$. Gọi $C$ là vị trí máy bay bắt đầu xuyên qua đám mây.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=27$. Lấy điểm $M(a;b;c)$ với $a<0$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A,B,C$ là tiếp điểm) thỏa mãn góc $\widehat{AMB}=60^{\circ },\widehat{BMC}=90^{\circ },\widehat{CMA}=120^{\circ }$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z-2=0$ và mặt phẳng $(Q):2x-y-2z+10=0$ song song với nhau. Biết $A(1;2;1)$ là điểm nằm giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Biết rằng khi $(S)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z+3=0$. Mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;0;-1)$ và cắt mặt phẳng $(P)$ theo một đường tròn giao tuyến có bán kính bằng $\sqrt{5}$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=4$, $(S^{\prime }):(x-8{)}^2+(y-8{)}^2+z^2=64$ và điểm $D(0;0;-8)$. $DM$ là tiếp tuyến thay đổi của mặt cầu $(S^{\prime })$ ($M$ là tiếp điểm). $A,B,C$ là các điểm phân biệt thay đổi trên mặt cầu $(S)$ sao cho $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{CO}=0$. Khi phương trình mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $ax+2y+cz+d=0$ thì khoảng cách từ $N(0;0;1)$ đến $(ABC)$ đạt giá trị lớn nhất. Tổng $a+2c+d$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$ và điểm $A(0;1;-2)$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(C_1)$. Từ điểm $M$ di động nằm ngoài $(S)$ và nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn $(C_1)$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(C_2)$. Biết rằng nếu $(C_1)$ và $(C_2)$ có cùng bán kính thì $M$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính $r$ của đường tròn đó bằng