Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ, các điểm $B,D,S$ lần lượt thuộc $Ox,Oy,Oz$ như hình bên dưới. Biết rằng $AB=2,AD=6$ và $SA=7$.

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$, một đội gồm ba drone giao hàng $A,B,C$ đang có tọa độ là $A(1;1;2),B(6;7;9),C(8;11;14)$ (minh họa như hình vẽ). Gọi $d_1=AB,d_2=AC,d_3=BC$ lần lượt là khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng trên. Giá trị của $d_1+d_2+d_3$ bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Trạm kiểm soát không quân đang theo dõi hai máy bay chiến đấu Su - 30 và MiG - 31. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo mỗi trục là $1km$ và xem mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ là mặt đất, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay chiến đấu Su - 30 ở tọa độ $A(0;35;10)$, bay theo hướng vecto $\overrightarrow{v_1}=(3;4;0)$ với tốc độ không đổi $900\left(km/h\right)$ và máy bay chiến đấu MiG - 31 ở tọa độ $B(31;10;11)$, bay theo hướng $\overrightarrow{v_2}=(5;12;0)$ với tốc độ không đổi $910\left(km/h\right)$. Khu vực này có gió mạnh thổi với vận tốc $80\left(km/h\right)$ theo hướng vecto $\overrightarrow{u}\left(-3;0;4\right)$, gió ảnh hưởng đến cả hai máy bay trong quá trình bay.



Một khu vực không phận bị hạn chế bay đã được một quốc gia khác thiết lập, có dạng hình trụ với tâm đáy tại $C\left(178,430,0\right)$, bán kính đáy $7$ km, trục vuông góc với mặt đất và chiều cao $43$km, máy bay MiG – 31 có nhiệm vụ bay vào khu vực không phận bị hạn chế để thăm dò. Tại thời điểm máy bay chiến đấu MiG - 31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế thì khoảng cách của 2 máy bay chiến đấu là bao nhiêu km? (làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{v}=(1;2;1)$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;-3;2)$ và $\vec{v}=(0;2;1)$. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đáy là các tam giác đều cạnh bằng 4 (như hình bên). Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}$ bằng:

(1 điểm) Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A(1;2;3),B(3;0;1),C(5;-1;2),D(3;7;4)$. Biết điểm $M$ di động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ để biểu thức $P=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2{\overrightarrow{MC}}^2+3{\overrightarrow{MD}}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ $M$ và tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.