Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-2}$, ${\Delta }_2:\frac{x+2}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ biết $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, $A{A}^{\prime }=2a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ trùng với trung điểm $H$ của đoạn $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

Một đội kĩ sư đang thi công một công trình trong không gian (ví dụ: một mái vòm, một cây cầu treo). Họ dùng hệ tọa độ Oxyz (với đơn vị là mét) để định vị các điểm.
• Họ có một thanh dầm thép chính, được coi là một đường thẳng, chạy qua hai điểm $\mathbf{B}(0;0;1)$ và $\mathbf{C}(2;1;1)$.
• Họ cần treo một sợi dây cáp chịu lực từ một điểm móc cố định tại vị trí $\mathbf{A}(1;0;0)$ xuống thanh dầm BC.
Để tiết kiệm vật liệu nhất và đảm bảo dây cáp vuông góc với thanh dầm (tạo lực đỡ tốt nhất), họ cần cắt sợi dây cáp này với độ dài ngắn nhất là bao nhiêu mét?

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }C$ bằng

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Biết đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua hai điểm $A(2;1;1)$, $B(3;0;3)$ và đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-7}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$.



(Nút giao khác mức là nơi có hai hoặc nhiều tuyến đường giao nhau nằm ở cao độ khác nhau)

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Biết đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua hai điểm $A(2;1;1)$, $B(3;0;3)$ và đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-7}{3}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$.

[Hình cần kiểm tra lại: p7_f1]

(Nút giao khác mức là nơi có hai hoặc nhiều tuyến đường giao nhau nằm ở cao độ khác nhau)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=t\\ y=1-2t\\ z=-3t\end{array}$, $d_2:\frac{x}{-4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{5}$. Góc giữa hai đường thẳng $d_1,d_2$ bằng bao nhiêu độ?