Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A(1;2;1)$ và $B(3;0;1)$, mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(0;1;0)$, $N(2;1;3)$, $P(4;1;1)$. Đường thẳng d cắt mặt phẳng (MNP) tại I(a,b;c). Tính a+b+c. (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị đo trên mỗi trục bằng 1 mét trên thực tế), một con chim bói cá đang ở vị trí $(C)$ cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng $(Oxz)$, $(Oyz)$ lần lượt là 3 m và 1 m phóng thẳng xuống vị trí con cá (điểm $A$) cách mặt nước 50 cm và cách mặt phẳng $(Oxz)$, $(Oyz)$ lần lượt là 1 m và 1,5 m. Tọa độ của chim bói cá lúc vừa tiếp xúc với mặt nước (điểm $B$) là $(a;b;c)$. Tính $a+b+c$.

Cho mặt phẳng $(\alpha ):x-y+2z-1=0$ và hai điểm $A(0;-1;1)$; $B(1;1;-2)$. Biết $M\in (\alpha )$ sao cho $MA+MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hoành độ $x_M$ của điểm $M$ là

Trên một vùng biển có gắn hệ tọa độ $Oxyz$, mặt biển là mặt phẳng $Oxy$. Một chiếc tàu ngầm đang ở vị trí $A(12;83;-2)$ phóng một quả tên lửa để tiêu diệt một mục tiêu trên không ở vị trí $B(3;-7;16)$. Biết đường bay của tên lửa là một đường thẳng, xuyên qua mặt biển tại điểm $M(a;b;c)$. Tổng $a+b+c$ bằng

Mô phỏng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là 1 km). Một máy bay đang ở vị trí $A(5;10;2)$ và hạ cánh xuống điểm $O(0;0;0)$ trên đường băng. Một lớp mây mỏng được mô phỏng bởi mặt phẳng đi qua $P(10;0;0)$, $Q(0;10;0)$, $R(0;0;1)$.
Tính khoảng cách giữa máy bay và đường băng ngay khi máy bay vừa xuyên qua lớp mây?
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị là km)

Câu 14. Trong $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?