Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(3;2;1)$. Điểm đối xứng với $A$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;-3;1)$ và $\vec{b}=(-1;4;-2)$. Giá trị của biểu thức tích vô hướng $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho $3$ vectơ $\vec{u}=(1;2;3)$, $\vec{v}=(x;1-2x;x+1)$, $\vec{w}=(-3;1;4)$. Biết rằng khi $x=\frac{m}{n}$ (với $m,n\in \mathbb{Z},n>0,\frac{m}{n}$ là phân số tối giản) thì $3$ vectơ đã cho đồng phẳng, khi đó giá trị của biểu thức $m+n$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $P(7;9;0)$, $Q(0;8;0)$, $R(-5;-7;0)$. Điểm $M$ di chuyển trong không gian thoả mãn $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MR}+75=0$. Giá trị nhỏ nhất của $MP+2MQ$ bằng

Cho số phức $z$ thay đổi thỏa mãn $|z-1|=4$. Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức $w=(1+\sqrt{3}i)z+2$ là đường tròn có bán kính bằng $R$. Tính $R$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Độ dài của vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }A}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(3;-2;5)$, $B(-2;1;-3)$ và $C(5;1;1)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là