Cho hai mặt phẳng $(P):3x-2y+2z+7=0$, $(Q):5x-4y+3z+1=0$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ $O$ đồng thời vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$. Tính khoảng cách từ điểm $M(1;3;1)$ đến $(\alpha )$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(1;0;2)$ và vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{3}$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2;4;1);B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$. Một mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+by+cz-11=0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;0;1),B(5;2;3)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+z-4=0$.

Hai học sinh đang chuyền bóng, bạn nữ ném bóng cho bạn nam, quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống mặt đất cách bạn nam $3\text{ m}$ và cách bạn nữ $5\text{ m}$ (Hình dưới đây). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt đất. Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ được mô tả trong hình. Khi đó phương trình của mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+y+cz+d=0$. Tìm $3a+4c$.

Trong không gian $Oxyz$, gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm $A(2;0;0)$, $B(0;-3;0)$, $C(0;0;4)$. Phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh $A(1;1;1)$, $B(2;0;2)$, $C(-1;-1;0)$, $D(0;3;4)$. Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ thỏa mãn $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}+\frac{AD}{AP}=6$. Viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$, biết khối tứ diện $AMNP$ có thể tích nhỏ nhất.