Trong không gian $Oxyz$, cho $A(0;1;1),B(1;0;-3),C(-1;-2;-3)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+2z-2=0$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;-4)$, suy ra $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-8;8;-4)=-4(2;-2;1)$. Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(0;1;1)$ có phương trình $2x-2(y-1)+(z-1)=0\iff 2x-2y+z+1=0$.
a) Đúng vì mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-1)$, bán kính $R=2$, khoảng cách $d(I,(ABC))=\frac{|2-0-1+1|}{3}=\frac{2}{3}$, nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
b) Sai vì phương trình $(ABC)$ là $2x-2y+z+1=0$.
c) Đúng vì $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$.
d) Sai vì trọng tâm $G\left(0;-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)$ có $a+b+c=-2$.