Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ tạo với nhau một góc $30^{\circ }$ và $|\vec{a}|=|\vec{b}|=4$. Giá trị $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $M(2;3;-1)$, $N(-1;1;1)$ và $P(1;m+1;2)$. Biết tam giác $MNP$ vuông tại $N$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho điểm $M(a;b;c)$ cách đều bốn điểm $A(0;4;0),B(-1;0;-3),C(3;3;0),D(2;1;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=5a+50b+500c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;-1;2),B(2;-1;4)$ và mặt phẳng $(P):z-1=0$. Điểm $M(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ và có diện tích lớn nhất. Tính $T=2a-3b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2;1)$ và $B(3;-2;1)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí $A$ cách vị trí điều khiển $150\text{ m}$ về phía nam và $200\text{ m}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $50\text{ m}$. Flycam II ở vị trí $B$ cách vị trí điều khiển $180\text{ m}$ về phía bắc và $240\text{ m}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $60\text{ m}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc $O$ là vị trí người điều khiển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ có hướng trùng với hướng nam, trục $Oy$ trùng với hướng đông, trục $Oz$ vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(Q):x+2y-z+3=0$. Véctơ nào sau đây vuông góc với véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$?