Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho parabol $(C)$ có phương trình là $y=x^2-2x+3$ với đỉnh $I$. Xét các điểm $A\in (C)$ và $B,C$ lần lượt thuộc tia $Ox,Oy$ sao cho tam giác $ABC$ nhận $I$ là trọng tâm. Tìm giá trị lớn nhất của $T=OB+OC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol: $y=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2$ nên $I(1;2)$.

Gọi $A(a;a^2-2a+3)$ với $a\in \mathbb{R}$, $B(b;0)$ với $b\ge 0$ (tia $Ox$), $C(0;c)$ với $c\ge 0$ (tia $Oy$).

Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$:
$$\frac{a+b+0}{3}=1\Rightarrow b=3-a,$$
$$\frac{(a^2-2a+3)+0+c}{3}=2\Rightarrow c=6-(a^2-2a+3)=3+2a-a^2.$$

Khi đó:
$$T=OB+OC=b+c=(3-a)+(3+2a-a^2)=6+a-a^2=-{\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{25}{4}.$$

Suy ra $T\le \frac{25}{4}$, dấu bằng khi $a=\frac{1}{2}$. Kiểm tra điều kiện: khi $a=\frac{1}{2}$ thì $b=\frac{5}{2}\ge 0$, $c=3+1-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}\ge 0$, thỏa mãn $B\in$ tia $Ox$, $C\in$ tia $Oy$; khi đó $A\left(\frac{1}{2};\frac{9}{4}\right)\in (C)$ và trọng tâm đúng là $I(1;2)$.

Vậy $\max T=\frac{25}{4}$, đạt tại $A\left(\frac{1}{2};\frac{9}{4}\right)$, $B\left(\frac{5}{2};0\right)$, $C\left(0;\frac{15}{4}\right)$.