1. Bạn Minh cần thiết kế một logo có dạng hình tròn, bán kính bằng 5 cm. Trên logo, Minh vẽ một hình vuông $ABCD$ có cùng tâm $O$ với hình tròn (hình vẽ). Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là giao điểm của các tia $BA,AD,DC,CB$ với đường tròn $(O)$. Hãy tính độ dài cạnh hình vuông $ABCD$ biết $CM=5\sqrt{2}$ cm.
2. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có điểm $C(0;4)$, đường cao $AH:x+y-12=0$; đường phân giác trong $BD:2x-y-4=0$. Tìm tọa độ các điểm $A,B$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1.** Đặt cạnh hình vuông $ABCD$ là $a$, tâm $O$ là gốc tọa độ: $A\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, $B\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, $C\left(\frac{a}{2};-\frac{a}{2}\right)$. Tia $BA$ là đường thẳng $y=\frac{a}{2}$, cắt đường tròn $x^2+y^2=25$ tại $M\left(-s;\frac{a}{2}\right)$ với $s=\sqrt{25-\frac{a^2}{4}}>0$.
Ta có $C{M}^2={\left(\frac{a}{2}+s\right)}^2+a^2=50\Rightarrow a^2+as=25\Rightarrow s=\frac{25}{a}-a$.
Thay vào $s^2=25-\frac{a^2}{4}$: $\frac{625}{a^2}-50+a^2=25-\frac{a^2}{4}\Rightarrow 5a^4-300a^2+2500=0\Rightarrow a^4-60a^2+500=0\Rightarrow a^2=50$ hoặc $a^2=10$.
Với $a^2=50$ thì $s=\frac{25}{a}-a<0$ (loại). Vậy $a=\sqrt{10}$ cm. Kiểm tra: $C{M}^2=(\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{2}{)}^2+10=40+10=50$ ✓.

**Câu 2.** Vì $AH$ là đường cao nên $BC\perp AH$; $AH$ có hệ số góc $-1$ nên $BC$ có hệ số góc $1$: qua $C(0;4)$ là $y=x+4$.
$B$ thuộc $BC$ và $BD$: $x+4=2x-4\Rightarrow x=8,y=12\Rightarrow B(8;12)$.
Vì $BD$ là phân giác trong góc $B$ nên tia $BA$ là ảnh của tia $BC$ qua đối xứng trục $BD:2x-y-4=0$. Đối xứng $C(0;4)$ qua $BD$: $a{x}_0+b{y}_0+c=-8$, $C^{\prime }=C-\frac{2(-8)}{5}(2;-1)=\left(\frac{32}{5};\frac{4}{5}\right)$ (kiểm tra: trung điểm $\left(\frac{16}{5};\frac{12}{5}\right)$ thuộc $BD$ ✓, $C{C}^{\prime }\parallel (2;-1)$ ✓).
Đường $BA$ qua $B(8;12)$ và $C^{\prime }$ có hệ số góc $\frac{12-4/5}{8-32/5}=7$, tức $y=7x-44$.
$A$ là giao của $BA$ với $AH:x+y=12$: $8x=56\Rightarrow x=7,y=5\Rightarrow A(7;5)$.
Kiểm tra: $A\in AH$ ✓; $\frac{\overrightarrow{BA}}{|BA|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|BC|}=\left(-\frac{6}{5\sqrt{2}};-\frac{12}{5\sqrt{2}}\right)\parallel (1;2)$ là vectơ chỉ phương của $BD$ ✓.

Kết luận: Cạnh hình vuông $ABCD=\sqrt{10}$ cm; $A(7;5)$, $B(8;12)$.